{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/10","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"10","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub jedną z \\(10\\) nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej jest równe \\(\\frac{1}{7}\\). Oblicz, ile jest losów pustych.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: **59 losów pustych**\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie liczby losów z definicji prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Co wiemy:**\n- nagród książkowych jest dokładnie **10**\n- nagród głównych jest dokładnie **1** (zestaw płyt CD)\n- prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej: \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\)\n\n**Krok 1 - Wyznacz całkowitą liczbę losów.**\n\nZ definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[P(\\text{książka}) = \\frac{\\text{liczba losów z nagrodą książkową}}{\\text{wszystkie losy}} = \\frac{10}{N}\\]\n\nWiemy, że \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\), więc:\n\\[\\frac{10}{N} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[N = 70\\]\n\nŁącznie jest **70 losów**.\n\n**Krok 2 - Odejmij losy z nagrodami.**\n\n\\[\\text{losy puste} = N - \\text{nagroda główna} - \\text{nagrody książkowe}\\]\n\\[\\text{losy puste} = 70 - 1 - 10 = \\mathbf{59}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo losu pustego\n\n**Krok 1 - Wyznacz N tak samo jak wyżej:** \\(N = 70\\).\n\n**Krok 2 - Policz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników i sprawdź, czy sumują się do 1.**\n\n\\[P(\\text{nagroda główna}) = \\frac{1}{70}\\]\n\\[P(\\text{nagroda książkowa}) = \\frac{10}{70} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[P(\\text{los pusty}) = \\frac{59}{70}\\]\n\nSprawdzenie (suma musi równać się 1):\n\\[\\frac{1}{70} + \\frac{10}{70} + \\frac{59}{70} = \\frac{70}{70} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony: **59 losów pustych**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba sprzyjających wyników, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1: zdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie nagrody książkowej\", \\(|A| = 10\\), \\(|\\Omega| = N\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij odjąć **obu** rodzajów nagród - zarówno 10 książkowych, jak i 1 nagrody głównej. Częsty błąd to obliczenie \\(70 - 10 = 60\\) i pominięcie nagrody głównej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi o \\(\\dfrac{1}{7}\\) jako prawdopodobieństwie wygrania **nagrody książkowej** - nie nagrody w ogóle. Gdybyś wziął \\(\\dfrac{1}{7}\\) za prawdopodobieństwo **jakiejkolwiek** nagrody, dostałbyś złą liczbę losów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawdopodobieństwo klasyczne zakłada, że **każdy los jest jednakowo możliwy do wylosowania** - to jest warunek, który tu przyjmujemy.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(59\\) losów pustych\n\n### Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo\nNiech \\(n\\) - łączna liczba losów. Liczba nagród książkowych to \\(10\\). Prawdopodobieństwo wylosowania nagrody książkowej:\n\\[P = \\dfrac{10}{n} = \\dfrac{1}{7} \\Rightarrow n = 70.\\]\n\nŁącznie losów: \\(n = 70\\). Wśród nich:\n- \\(1\\) nagroda główna (zestaw płyt),\n- \\(10\\) nagród książkowych,\n- reszta to losy **puste**.\n\n**Liczba losów pustych:**\n\\[70 - 1 - 10 = 59.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nSkoro \\(\\tfrac{1}{7}\\) losów daje nagrodę książkową i takich losów jest \\(10\\), to wszystkich losów jest \\(7 \\cdot 10 = 70\\). Po odjęciu \\(1\\) nagrody głównej i \\(10\\) książkowych zostaje \\(59\\) losów pustych.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby wszystkich losów (\\(70\\));\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby losów pustych (\\(59\\)).\n\n**Trik:** klasyczne prawdopodobieństwo to \\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\). Gdy znamy \\(P\\) i \\(|A|\\), wyznaczamy \\(|\\Omega| = \\dfrac{|A|}{P}\\). Pamiętaj, że **losy puste** to te, które **nie są** nagrodami - a nagród jest \\(1 + 10 = 11\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej jest równe 17. Oblicz, ile jest losów pustych.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 59 losów pustych

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie liczby losów z definicji prawdopodobieństwa klasycznego

\n

Co wiemy:

\n\n

Krok 1 - Wyznacz całkowitą liczbę losów.

\n

Z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:

\n
P(książka)=liczba losów z nagrodą książkowąwszystkie losy=10N
\n

Wiemy, że P(książka)=17, więc:

\n
10N=17
\n
N=70
\n

Łącznie jest 70 losów.

\n

Krok 2 - Odejmij losy z nagrodami.

\n
losy puste=N−nagroda główna−nagrody książkowe
\n
losy puste=70−1−10=59
\n

Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo losu pustego

\n

Krok 1 - Wyznacz N tak samo jak wyżej: N=70.

\n

Krok 2 - Policz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników i sprawdź, czy sumują się do 1.

\n
P(nagroda główna)=170
\n
P(nagroda książkowa)=1070=17
\n
P(los pusty)=5970
\n

Sprawdzenie (suma musi równać się 1):

\n
170+1070+5970=7070=1✓
\n

Wynik potwierdzony: 59 losów pustych.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:

\n
P(A)=|A||Ω|
\n

gdzie |A| to liczba sprzyjających wyników, a |Ω| to liczba wszystkich możliwych wyników.

\n

Użyliśmy tego wzoru w Kroku 1: zdarzenie A = „wylosowanie nagrody książkowej", |A|=10, |Ω|=N.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij odjąć obu rodzajów nagród - zarówno 10 książkowych, jak i 1 nagrody głównej. Częsty błąd to obliczenie 70−10=60 i pominięcie nagrody głównej.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi o 17 jako prawdopodobieństwie wygrania nagrody książkowej - nie nagrody w ogóle. Gdybyś wziął 17 za prawdopodobieństwo jakiejkolwiek nagrody, dostałbyś złą liczbę losów.
\n
⚠️ Uwaga: Prawdopodobieństwo klasyczne zakłada, że każdy los jest jednakowo możliwy do wylosowania - to jest warunek, który tu przyjmujemy.
\n

Poprawna odpowiedź: 59 losów pustych

\n
Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo
\n

Niech n - łączna liczba losów. Liczba nagród książkowych to 10. Prawdopodobieństwo wylosowania nagrody książkowej:

\n
P=10n=17⇒n=70.
\n

Łącznie losów: n=70. Wśród nich:

\n\n

Liczba losów pustych:

\n
70−1−10=59.
\n
Sposób 2 - Proporcja
\n

Skoro 17 losów daje nagrodę książkową i takich losów jest 10, to wszystkich losów jest 7·10=70. Po odjęciu 1 nagrody głównej i 10 książkowych zostaje 59 losów pustych.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: klasyczne prawdopodobieństwo to P=|A||Ω|. Gdy znamy P i |A|, wyznaczamy |Ω|=|A|P. Pamiętaj, że losy puste to te, które nie są nagrodami - a nagród jest 1+10=11.

"}]}