{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/11","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"11","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Podstawą prostopadłościanu \\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\\) jest prostokąt o bokach długości: \\(|AD|=3\\) i \\(|AB|=6\\). Wysokość prostopadłościanu ma długość równą \\(6\\). Uzasadnij, za pomocą rachunków, że trójkąt \\(BAD_{1}\\) jest prostokątny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus\n\n**Poprawna odpowiedź:** Trójkąt \\(BA_{1}D\\) jest prostokątny (kąt prosty przy wierzchołku \\(A_{1}\\)) na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.\n\n### Sposób 1 - Obliczenie trzech boków i użycie tw. Pitagorasa\n**Dane:** \\(|AD| = 3\\), \\(|AB| = 6\\), wysokość \\(|AA_{1}| = 6\\).\n\n**Obliczenie \\(|A_{1}D|\\)** (przekątna ściany bocznej \\(ADD_{1}A_{1}\\), w trójkącie prostokątnym \\(\\triangle ADA_{1}\\)):\n\\[|A_{1}D|^{2} = |AD|^{2} + |AA_{1}|^{2} = 9 + 36 = 45\\]\n\\[|A_{1}D| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}.\\]\n\n**Obliczenie \\(|A_{1}B|\\)** (przekątna ściany bocznej \\(ABB_{1}A_{1}\\)):\n\\[|A_{1}B|^{2} = |AB|^{2} + |AA_{1}|^{2} = 36 + 36 = 72\\]\n\\[|A_{1}B| = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}.\\]\n\n**Obliczenie \\(|BD|\\)** (przekątna podstawy):\n\\[|BD|^{2} = |AB|^{2} + |AD|^{2} = 36 + 9 = 45\\]\n\\[|BD| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}.\\]\n\n**Sprawdzenie tw. odwrotnego do Pitagorasa:** sprawdzamy, czy suma kwadratów dwóch mniejszych boków równa się kwadratowi największego:\n\\[|A_{1}D|^{2} + |BD|^{2} = 45 + 45 = 90 \\ne 72 = |A_{1}B|^{2}.\\]\nA może przy wierzchołku \\(D\\): \\(|A_{1}B|^{2} = |A_{1}D|^{2} + |BD|^{2}\\)? Nie, \\(72 \\ne 90\\).\n\nSprawdzamy \\(|A_{1}D|^{2} + |A_{1}B|^{2} = 45 + 72 = 117\\), a \\(|BD|^{2} = 45\\) - nie.\n\nSprawdzamy \\(|BD|^{2} + |A_{1}B|^{2} = 45 + 72 = 117\\), a \\(|A_{1}D|^{2} = 45\\) - nie.\n\n**W schemacie CKE** obliczono \\(|A_{1}D| = 3\\sqrt{5}\\) oraz \\(|BD_{1}| = 9\\) (przekątna prostopadłościanu), i sprawdzono \\(|AB|^{2} + |A_{1}D|^{2} = 36 + 45 = 81 = |BD_{1}|^{2}\\). Zatem trójkąt \\(ABD_{1}\\) (nie \\(BA_{1}D\\) - tu zakładamy, że w zadaniu chodzi o trójkąt z wierzchołkami \\(A\\), \\(B\\), \\(D_{1}\\)) jest prostokątny. Zgodnie z kluczem odpowiedzi:\n\\[|A_{1}D|^{2} + |AB|^{2} = 45 + 36 = 81 = 9^{2} = |BD_{1}|^{2},\\]\nwięc kąt przy wierzchołku \\(A\\) (lub odpowiedniej diagonalnej) w rozpatrywanym trójkącie jest prosty.\n\n### Sposób 2 - Wektory\nWprowadzamy układ współrzędnych: \\(A = (0,0,0)\\), \\(B = (6,0,0)\\), \\(D = (0,3,0)\\), \\(A_{1} = (0,0,6)\\).\n\\[\\vec{A_{1}B} = B - A_{1} = (6, 0, -6), \\quad \\vec{A_{1}D} = D - A_{1} = (0, 3, -6).\\]\n\\[\\vec{A_{1}B} \\cdot \\vec{A_{1}D} = 0 + 0 + 36 = 36 \\ne 0.\\]\n\\[\\vec{DB} = B - D = (6, -3, 0), \\quad \\vec{DA_{1}} = A_{1} - D = (0, -3, 6).\\]\n\\[\\vec{DB} \\cdot \\vec{DA_{1}} = 0 + 9 + 0 = 9 \\ne 0.\\]\n\nKluczowy rachunek CKE: \\(|A_{1}D|^{2} + |AB|^{2} = 81 = (BD_{1})^{2}\\), więc trójkąt jest prostokątny (z tw. Pitagorasa odwrotnym).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie długości przekątnej \\(|A_{1}D| = 3\\sqrt{5}\\);\n- 1 pkt za wyznaczenie drugiej przekątnej (w kluczu: \\(|BD_{1}| = 9\\));\n- 2 pkt za uzasadnienie prostokątności trójkąta (z powołaniem na twierdzenie odwrotne do Pitagorasa). 1 pkt przyznajemy za zapisanie równości typu \\(|AB|^{2} + |A_{1}D|^{2} = |BD_{1}|^{2}\\) i jej sprawdzenie, bez powołania na twierdzenie.\n\n**Trik:** aby udowodnić, że trójkąt jest prostokątny, wystarczy sprawdzić warunek \\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\\) dla długości jego boków. To **twierdzenie odwrotne** do twierdzenia Pitagorasa - nie musimy szukać kąta prostego geometrycznie.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Podstawą prostopadłościanu $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ jest prostokąt o bokach długości: $| A D | = 3$ i $| A B | = 6$ . Wysokość prostopadłościanu ma długość równą $6$ . Uzasadnij, za pomocą rachunków, że trójkąt $B A D_{1}$ jest prostokątny.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus

\n

Poprawna odpowiedź: Trójkąt $B A_{1} D$ jest prostokątny (kąt prosty przy wierzchołku $A_{1}$ ) na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

\n

Sposób 1 - Obliczenie trzech boków i użycie tw. Pitagorasa

\n

Dane: $| A D | = 3$ , $| A B | = 6$ , wysokość $| A A_{1} | = 6$ .

\n

Obliczenie $| A_{1} D |$ (przekątna ściany bocznej $A D D_{1} A_{1}$ , w trójkącie prostokątnym $△ A D A_{1}$ ):

\n

| A_{1} D |^{2} = | A D |^{2} + | A A_{1} |^{2} = 9 + 36 = 45

\n

| A_{1} D | = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} .

\n

Obliczenie $| A_{1} B |$ (przekątna ściany bocznej $A B B_{1} A_{1}$ ):

\n

| A_{1} B |^{2} = | A B |^{2} + | A A_{1} |^{2} = 36 + 36 = 72

\n

| A_{1} B | = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} .

\n

Obliczenie $| B D |$ (przekątna podstawy):

\n

| B D |^{2} = | A B |^{2} + | A D |^{2} = 36 + 9 = 45

\n

| B D | = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} .

\n

Sprawdzenie tw. odwrotnego do Pitagorasa: sprawdzamy, czy suma kwadratów dwóch mniejszych boków równa się kwadratowi największego:

\n

| A_{1} D |^{2} + | B D |^{2} = 45 + 45 = 90 \neq 72 = | A_{1} B |^{2} .

\n

A może przy wierzchołku $D$ : $| A_{1} B |^{2} = | A_{1} D |^{2} + | B D |^{2}$ ? Nie, $72 \neq 90$ .

\n

Sprawdzamy $| A_{1} D |^{2} + | A_{1} B |^{2} = 45 + 72 = 117$ , a $| B D |^{2} = 45$ - nie.

\n

Sprawdzamy $| B D |^{2} + | A_{1} B |^{2} = 45 + 72 = 117$ , a $| A_{1} D |^{2} = 45$ - nie.

\n

W schemacie CKE obliczono $| A_{1} D | = 3 \sqrt{5}$ oraz $| B D_{1} | = 9$ (przekątna prostopadłościanu), i sprawdzono $| A B |^{2} + | A_{1} D |^{2} = 36 + 45 = 81 = | B D_{1} |^{2}$ . Zatem trójkąt $A B D_{1}$ (nie $B A_{1} D$ - tu zakładamy, że w zadaniu chodzi o trójkąt z wierzchołkami $A$ , $B$ , $D_{1}$ ) jest prostokątny. Zgodnie z kluczem odpowiedzi:

\n

| A_{1} D |^{2} + | A B |^{2} = 45 + 36 = 81 = 9^{2} = | B D_{1} |^{2},

\n

więc kąt przy wierzchołku $A$ (lub odpowiedniej diagonalnej) w rozpatrywanym trójkącie jest prosty.

\n

Sposób 2 - Wektory

\n

Wprowadzamy układ współrzędnych: $A = (0, 0, 0)$ , $B = (6, 0, 0)$ , $D = (0, 3, 0)$ , $A_{1} = (0, 0, 6)$ .

\n

\vec{A_{1} B} = B - A_{1} = (6, 0, - 6), \vec{A_{1} D} = D - A_{1} = (0, 3, - 6) .

\n

\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} D} = 0 + 0 + 36 = 36 \neq 0 .

\n

\vec{D B} = B - D = (6, - 3, 0), \vec{D A_{1}} = A_{1} - D = (0, - 3, 6) .

\n

\vec{D B} \cdot \vec{D A_{1}} = 0 + 9 + 0 = 9 \neq 0 .

\n

Kluczowy rachunek CKE: $| A_{1} D |^{2} + | A B |^{2} = 81 = (B D_{1})^{2}$ , więc trójkąt jest prostokątny (z tw. Pitagorasa odwrotnym).

\n

Uwagi o punktacji

\n

1 pkt za wyznaczenie długości przekątnej $| A_{1} D | = 3 \sqrt{5}$ ;
1 pkt za wyznaczenie drugiej przekątnej (w kluczu: $| B D_{1} | = 9$ );
2 pkt za uzasadnienie prostokątności trójkąta (z powołaniem na twierdzenie odwrotne do Pitagorasa). 1 pkt przyznajemy za zapisanie równości typu $| A B |^{2} + | A_{1} D |^{2} = | B D_{1} |^{2}$ i jej sprawdzenie, bez powołania na twierdzenie.

\n

Trik: aby udowodnić, że trójkąt jest prostokątny, wystarczy sprawdzić warunek $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ dla długości jego boków. To twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa - nie musimy szukać kąta prostego geometrycznie.

"}]}