{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/2","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej \\(f\\).\na) Podaj miejsca zerowe funkcji \\(f\\).\nb) Podaj rozwiązania nierówności \\(f(x) \\leq 0\\).\nc) Podaj rozwiązania równania \\(f(x) = 3\\).\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z2.png","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Miejsca zerowe: \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\)\n\n**b)** \\(f(x) \\leq 0\\) dla \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\n**c)** \\(x = 0\\) lub \\(x = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu i właściwości paraboli\n\n**Krok 1 - Odczytaj miejsca zerowe (punkt a)**\n\nMiejsca zerowe funkcji to punkty przecięcia paraboli z osią \\(OX\\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \\(OX\\) w punktach:\n\\[x_1 = -1 \\quad \\text{oraz} \\quad x_2 = 5\\]\n\n**Krok 2 - Określ kierunek ramion paraboli**\n\nZ rysunku widać, że parabola jest **skierowana ramionami w dół** (ma maksimum, nie minimum). To kluczowa obserwacja dla punktu b).\n\n**Krok 3 - Rozwiąż nierówność \\(f(x) \\leq 0\\) (punkt b)**\n\nParabola jest skierowana **w dół**, więc:\n- Przyjmuje wartości nieujemne \\((f(x) \\geq 0)\\) **między** miejscami zerowymi, czyli dla \\(x \\in \\langle -1, 5 \\rangle\\)\n- Przyjmuje wartości niedodatnie \\((f(x) \\leq 0)\\) **poza** miejscami zerowymi\n\nZatem:\n\\[\\boxed{f(x) \\leq 0 \\iff x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)}\\]\n\n**Krok 4 - Wyznacz oś symetrii**\n\nOś symetrii paraboli przebiega przez środek odcinka między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-1 + 5}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\nZatem oś symetrii: \\(x = 2\\).\n\n**Krok 5 - Rozwiąż równanie \\(f(x) = 3\\) (punkt c)**\n\nProsta \\(y = 3\\) przecina parabolę w dwóch punktach symetrycznych względem osi \\(x = 2\\). Z rysunku odczytujemy, że przecięcia następują dla \\(x = 0\\) oraz \\(x = 4\\).\n\nWeryfikacja symetrii: środek między \\(0\\) i \\(4\\) to \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓ - oba punkty są symetryczne względem osi \\(x = 2\\).\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i obliczenie algebraiczne\n\n**Krok 1 - Zapisz postać iloczynową**\n\nSkoro miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 5\\), a parabola jest skierowana w dół (współczynnik \\(a < 0\\)):\n\\[f(x) = a(x + 1)(x - 5)\\]\n\n**Krok 2 - Wyznacz współczynnik \\(a\\)**\n\nPodstawiamy jeden z punktów z wykresu: z rysunku widać, że dla \\(x = 0\\) zachodzi \\(f(0) = 3\\):\n\\[f(0) = a \\cdot (0 + 1)(0 - 5) = a \\cdot 1 \\cdot (-5) = -5a = 3\\]\n\\[a = -\\frac{3}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = -\\frac{3}{5}(x + 1)(x - 5)\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdź miejsca zerowe**\n\n\\(f(x) = 0 \\iff (x+1)(x-5) = 0 \\iff x = -1\\) lub \\(x = 5\\) ✓\n\n**Krok 4 - Rozwiąż \\(f(x) \\leq 0\\) algebraicznie**\n\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) \\leq 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\) (ujemna liczba - zmieniamy znak nierówności):\n\\[(x+1)(x-5) \\geq 0\\]\n\nIloczyn nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak:\n- \\(x + 1 \\geq 0\\) i \\(x - 5 \\geq 0\\) → \\(x \\geq 5\\)\n- \\(x + 1 \\leq 0\\) i \\(x - 5 \\leq 0\\) → \\(x \\leq -1\\)\n\nWynik: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\) ✓\n\n**Krok 5 - Rozwiąż \\(f(x) = 3\\) algebraicznie**\n\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) = 3\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\):\n\\[(x+1)(x-5) = -5\\]\n\\[x^2 - 4x - 5 = -5\\]\n\\[x^2 - 4x = 0\\]\n\\[x(x - 4) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 4\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa trójmianu:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do zapisu funkcji na podstawie miejsc zerowych.\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nUżyliśmy pośrednio do wyznaczenia osi symetrii \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion paraboli decyduje o znaku nierówności! Dla paraboli skierowanej **w dół** funkcja jest ujemna **na zewnątrz** miejsc zerowych - odwrotnie niż dla paraboli skierowanej w górę. Łatwo tu się pomylić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie b) nierówność jest **nieostra** (\\(\\leq\\)), więc miejsca zerowe \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\) należą do rozwiązania - przedziały domknięte \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarte \\(()\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu punktów \\(f(x) = 3\\) nie wystarczy odczytać jeden punkt z wykresu - zawsze są **dwa** punkty symetryczne względem osi symetrii. Sprawdź, czy obie wartości są symetryczne względem \\(x = 2\\): \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n- **a)** \\(x = -1\\), \\(x = 5\\)\n- **b)** \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n- **c)** \\(x = 0\\) lub \\(x = 4\\)\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZ rysunku widać, że parabola otwiera się **w dół** (\\(a < 0\\)) i przecina oś \\(OX\\) w punktach \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\). Wierzchołek leży w punkcie o odciętej \\(x_{w} = \\dfrac{-1+5}{2} = 2\\).\n\n**a) Miejsca zerowe:** to właśnie \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\).\n\n**b) \\(f(x) \\le 0\\):** ponieważ parabola otwiera się w dół, \\(f(x) \\le 0\\) **poza** przedziałem miejsc zerowych:\n\\[x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty).\\]\n\n**c) \\(f(x) = 3\\):** z wykresu odczytujemy punkty przecięcia paraboli z prostą \\(y = 3\\). Są to \\(x = 0\\) i \\(x = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji\nZ miejsc zerowych \\(x = -1, x = 5\\): \\(f(x) = a(x+1)(x-5)\\). Wierzchołek ma odciętą \\(x_{w} = 2\\), a z wykresu wartość \\(y_{w} = 4\\) (punkt wierzchołka nad osią \\(OX\\)):\n\\[f(2) = a(3)(-3) = -9a = 4 \\Rightarrow a = -\\tfrac{4}{9}.\\]\nZatem \\(f(x) = -\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5)\\).\n\nDla \\(f(x) = 3\\):\n\\[-\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5) = 3 \\iff (x+1)(x-5) = -\\tfrac{27}{4}.\\]\n(Jednak prostsze jest bezpośrednio odczytać \\(x = 0, x = 4\\) z wykresu.)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za **a)** (oba miejsca zerowe);\n- 1 pkt za **b)** (poprawny przedział);\n- 2 pkt za **c)** (po 1 pkt za każde rozwiązanie).\n\n**Trik:** gdy mamy wykres funkcji kwadratowej z widocznymi miejscami zerowymi, rozwiązania nierówności i równań odczytujemy bezpośrednio z rysunku - nie trzeba wyznaczać wzoru.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
a) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
b) Podaj rozwiązania nierówności f(x)≤0.
c) Podaj rozwiązania równania f(x)=3.

\n

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z2.png

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Miejsca zerowe: x=−1 oraz x=5

\n

b) f(x)≤0 dla x∈(−∞,−1⟩∪⟨5,+∞)

\n

c) x=0 lub x=4

\n

Sposób 1 - Odczyt z wykresu i właściwości paraboli

\n

Krok 1 - Odczytaj miejsca zerowe (punkt a)

\n

Miejsca zerowe funkcji to punkty przecięcia paraboli z osią OX. Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś OX w punktach:

\n
x1=−1orazx2=5
\n

Krok 2 - Określ kierunek ramion paraboli

\n

Z rysunku widać, że parabola jest skierowana ramionami w dół (ma maksimum, nie minimum). To kluczowa obserwacja dla punktu b).

\n

Krok 3 - Rozwiąż nierówność f(x)≤0 (punkt b)

\n

Parabola jest skierowana w dół, więc:

\n\n

Zatem:

\n
f(x)≤0⟺x∈(−∞,−1⟩∪⟨5,+∞)
\n

Krok 4 - Wyznacz oś symetrii

\n

Oś symetrii paraboli przebiega przez środek odcinka między miejscami zerowymi:

\n
p=x1+x22=−1+52=42=2
\n

Zatem oś symetrii: x=2.

\n

Krok 5 - Rozwiąż równanie f(x)=3 (punkt c)

\n

Prosta y=3 przecina parabolę w dwóch punktach symetrycznych względem osi x=2. Z rysunku odczytujemy, że przecięcia następują dla x=0 oraz x=4.

\n

Weryfikacja symetrii: środek między 0 i 4 to 0+42=2 ✓ - oba punkty są symetryczne względem osi x=2.

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i obliczenie algebraiczne

\n

Krok 1 - Zapisz postać iloczynową

\n

Skoro miejsca zerowe to x1=−1 i x2=5, a parabola jest skierowana w dół (współczynnik a<0):

\n
f(x)=a(x+1)(x−5)
\n

Krok 2 - Wyznacz współczynnik a

\n

Podstawiamy jeden z punktów z wykresu: z rysunku widać, że dla x=0 zachodzi f(0)=3:

\n
f(0)=a·(0+1)(0−5)=a·1·(−5)=−5a=3
\n
a=−35
\n

Zatem:

\n
f(x)=−35(x+1)(x−5)
\n

Krok 3 - Sprawdź miejsca zerowe

\n

f(x)=0⟺(x+1)(x−5)=0⟺x=−1 lub x=5 ✓

\n

Krok 4 - Rozwiąż f(x)≤0 algebraicznie

\n
−35(x+1)(x−5)≤0
\n

Mnożymy obie strony przez −53 (ujemna liczba - zmieniamy znak nierówności):

\n
(x+1)(x−5)≥0
\n

Iloczyn nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak:

\n\n

Wynik: x∈(−∞,−1⟩∪⟨5,+∞) ✓

\n

Krok 5 - Rozwiąż f(x)=3 algebraicznie

\n
−35(x+1)(x−5)=3
\n

Mnożymy obie strony przez −53:

\n
(x+1)(x−5)=−5
\n
x2−4x−5=−5
\n
x2−4x=0
\n
x(x−4)=0
\n

x=0lubx=4 ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa trójmianu:

\n
f(x)=a(x−x1)(x−x2)
\n

Użyliśmy w Sposobie 2 do zapisu funkcji na podstawie miejsc zerowych.

\n

Dział 7 (s. 7-9) - wzory Viète'a:

\n
x1+x2=−ba
\n

Użyliśmy pośrednio do wyznaczenia osi symetrii p=x1+x22.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kierunek ramion paraboli decyduje o znaku nierówności! Dla paraboli skierowanej w dół funkcja jest ujemna na zewnątrz miejsc zerowych - odwrotnie niż dla paraboli skierowanej w górę. Łatwo tu się pomylić.
\n
⚠️ Uwaga: W punkcie b) nierówność jest nieostra (≤), więc miejsca zerowe x=−1 i x=5 należą do rozwiązania - przedziały domknięte ⟨⟩, nie otwarte ().
\n
⚠️ Uwaga: Przy szukaniu punktów f(x)=3 nie wystarczy odczytać jeden punkt z wykresu - zawsze są dwa punkty symetryczne względem osi symetrii. Sprawdź, czy obie wartości są symetryczne względem x=2: 0+42=2 ✓
\n

Poprawna odpowiedź:

\n\n
Sposób 1 - Odczyt z wykresu
\n

Z rysunku widać, że parabola otwiera się w dół (a<0) i przecina oś OX w punktach x=−1 oraz x=5. Wierzchołek leży w punkcie o odciętej xw=−1+52=2.

\n

a) Miejsca zerowe: to właśnie x=−1 i x=5.

\n

b) f(x)≤0: ponieważ parabola otwiera się w dół, f(x)≤0 poza przedziałem miejsc zerowych:

\n
x∈(−∞,−1⟩∪⟨5,+∞).
\n

c) f(x)=3: z wykresu odczytujemy punkty przecięcia paraboli z prostą y=3. Są to x=0 i x=4.

\n
Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji
\n

Z miejsc zerowych x=−1,x=5: f(x)=a(x+1)(x−5). Wierzchołek ma odciętą xw=2, a z wykresu wartość yw=4 (punkt wierzchołka nad osią OX):

\n
f(2)=a(3)(−3)=−9a=4⇒a=−49.
\n

Zatem f(x)=−49(x+1)(x−5).

\n

Dla f(x)=3:

\n
−49(x+1)(x−5)=3⟺(x+1)(x−5)=−274.
\n

(Jednak prostsze jest bezpośrednio odczytać x=0,x=4 z wykresu.)

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: gdy mamy wykres funkcji kwadratowej z widocznymi miejscami zerowymi, rozwiązania nierówności i równań odczytujemy bezpośrednio z rysunku - nie trzeba wyznaczać wzoru.

"}]}