{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/3","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"3","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie. a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B (podaj wynik dokładny). b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost wyższy od średniego?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) Średni wzrost chłopców z klasy II B wynosi **167,4 cm**\n\nb) **7 chłopców** ma wzrost wyższy od średniego\n\n## Sposób 1 - Średnia ważona (bezpośrednie obliczenie)\n\n**Odczytujemy dane z diagramu** (zestawiamy w tabeli):\n\n| Wzrost \\(x_i\\) (cm) | Liczba chłopców \\(n_i\\) | \\(x_i \\cdot n_i\\) |\n| 160 | 2 | 320 |\n| 164 | 1 | 164 |\n| 168 | 3 | 504 |\n| 170 | 2 | 340 |\n| 172 | 1 | 172 |\n| 174 | 1 | 174 |\n| **Razem** | **10** | **1674** |\n\n**Obliczamy sumę wzrostów:**\n\\[160 \\cdot 2 + 164 \\cdot 1 + 168 \\cdot 3 + 170 \\cdot 2 + 172 \\cdot 1 + 174 \\cdot 1 = 1674\\]\n\n**Obliczamy średnią arytmetyczną** (całkowita liczba chłopców \\(n = 10\\)):\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{1674}{10} = \\mathbf{167{,}4 \\text{ cm}}\\]\n\n**Odpowiedź na część b):**\n\nSzukamy chłopców o wzroście **ściśle większym** niż \\(167{,}4\\) cm:\n- wzrost 168 cm → 3 chłopców\n- wzrost 170 cm → 2 chłopców\n- wzrost 172 cm → 1 chłopiec\n- wzrost 174 cm → 1 chłopiec\n\n\\[3 + 2 + 1 + 1 = \\mathbf{7 \\text{ chłopców}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda odchyleń od wartości bazowej\n\nZamiast liczyć dużą sumę, wybieramy **wartość bazową** \\(b = 170\\) cm (wygodna środkowa wartość) i obliczamy odchylenia każdego wzrostu od niej.\n\n| Wzrost \\(x_i\\) | \\(d_i = x_i - 170\\) | \\(n_i\\) | \\(d_i \\cdot n_i\\) |\n| 160 | \\(-10\\) | 2 | \\(-20\\) |\n| 164 | \\(-6\\) | 1 | \\(-6\\) |\n| 168 | \\(-2\\) | 3 | \\(-6\\) |\n| 170 | \\(0\\) | 2 | \\(0\\) |\n| 172 | \\(+2\\) | 1 | \\(+2\\) |\n| 174 | \\(+4\\) | 1 | \\(+4\\) |\n| **Razem** | | **10** | **\\(-26\\)** |\n\nŚrednie odchylenie od wartości bazowej:\n\\[\\bar{d} = \\frac{-26}{10} = -2{,}6\\]\n\nŚredni wzrost:\n\\[\\bar{x} = b + \\bar{d} = 170 + (-2{,}6) = \\mathbf{167{,}4 \\text{ cm}} \\checkmark\\]\n\nMetoda ta jest szybsza, gdy wartości wzrostu są duże - operujemy na małych odchyleniach zamiast na liczbach ~170.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nW wersji ważonej (gdy wartości się powtarzają):\n\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \\ldots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \\ldots + n_k}\\]\nUżywamy tego wzoru w Sposobie 1 - każdy wzrost mnoży się przez liczbę chłopców o tym wzroście.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że pytanie b) pyta o wzrost **wyższy od średniego** (czyli ściśle \\(> 167{,}4\\)), nie wyższy lub równy. Wzrostu dokładnie równego \\(167{,}4\\) cm żaden chłopiec nie ma (i nie może mieć, bo wzrost to liczba całkowita), ale w innych zadaniach granica może trafić dokładnie na jedną z wartości - wtedy nie wliczaj jej do „wyższy od średniego\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to policzenie liczby **różnych** wartości wzrostu powyżej średniej (tu: 4 wartości - 168, 170, 172, 174) zamiast **liczby chłopców** o tych wzrostach. Zawsze wróć do diagramu i zsumuj częstości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu diagramu słupkowego sprawdź dokładnie skalę osi - jeden „kwadracik\" może oznaczać 1, 2 lub 5 uczniów. Błędne odczytanie częstości zaburza całe obliczenie.\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n- **a)** Średni wzrost: \\(167{,}4\\) cm\n- **b)** 7 chłopców\n\n### Sposób 1 - Obliczenie średniej ważonej\nZ diagramu odczytujemy liczby chłopców o danym wzroście:\n| Wzrost [cm] | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 |\n| Liczba | 2 | 0 | 4 | 2 | 3 | 1 | 2 | 0 | 1 |\n\n**Łączna liczba chłopców:** \\(2+4+2+3+1+2+1 = 15\\).\n\n**Suma wszystkich wzrostów:**\n\\[2\\cdot 164 + 4\\cdot 166 + 2\\cdot 167 + 3\\cdot 168 + 169 + 2\\cdot 170 + 172\\]\n\\[= 328 + 664 + 334 + 504 + 169 + 340 + 172 = 2511.\\]\n\n**Średnia:**\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{2511}{15} = 167{,}4 \\text{ cm}.\\]\n\n**b)** Chłopcy o wzroście wyższym od \\(167{,}4\\) cm to ci o wzroście \\(168, 169, 170, 172\\) cm:\n\\[3 + 1 + 2 + 1 = 7 \\text{ chłopców}.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku z diagramu\nNajpierw zliczamy łącznie \\(N = 15\\) chłopców. Potem sumujemy iloczyny wzrost × liczba i dzielimy przez \\(15\\). Wynik \\(167{,}4\\) cm.\n\nDla części b) porównujemy każdą wartość wzrostu z \\(167{,}4\\) - wyższe są: \\(168, 169, 170, 172\\). Zliczamy: \\(3+1+2+1 = 7\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie \\(N = 15\\);\n- 1 pkt za poprawne odczytanie danych z diagramu;\n- 1 pkt za obliczenie średniej \\(167{,}4\\) cm;\n- 1 pkt za liczbę chłopców wyższych od średniej.\n\n**Trik:** średnia ważona to \\(\\bar{x} = \\dfrac{\\sum n_{i} x_{i}}{\\sum n_{i}}\\). Pamiętaj, że dzielimy przez **łączną liczbę obserwacji**, nie liczbę różnych wartości.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie. a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B (podaj wynik dokładny). b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost wyższy od średniego?

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Średni wzrost chłopców z klasy II B wynosi 167,4 cm

\n

b) 7 chłopców ma wzrost wyższy od średniego

\n

Sposób 1 - Średnia ważona (bezpośrednie obliczenie)

\n

Odczytujemy dane z diagramu (zestawiamy w tabeli):

\n

| Wzrost xi (cm) | Liczba chłopców ni | xi·ni |
| 160 | 2 | 320 |
| 164 | 1 | 164 |
| 168 | 3 | 504 |
| 170 | 2 | 340 |
| 172 | 1 | 172 |
| 174 | 1 | 174 |
| Razem | 10 | 1674 |

\n

Obliczamy sumę wzrostów:

\n
160·2+164·1+168·3+170·2+172·1+174·1=1674
\n

Obliczamy średnią arytmetyczną (całkowita liczba chłopców n=10):

\n
x¯=∑xi·nin=167410=167,4 cm
\n

Odpowiedź na część b):

\n

Szukamy chłopców o wzroście ściśle większym niż 167,4 cm:

\n\n
3+2+1+1=7 chłopców
\n

Sposób 2 - Metoda odchyleń od wartości bazowej

\n

Zamiast liczyć dużą sumę, wybieramy wartość bazową b=170 cm (wygodna środkowa wartość) i obliczamy odchylenia każdego wzrostu od niej.

\n

| Wzrost xi | di=xi−170 | ni | di·ni |
| 160 | −10 | 2 | −20 |
| 164 | −6 | 1 | −6 |
| 168 | −2 | 3 | −6 |
| 170 | 0 | 2 | 0 |
| 172 | +2 | 1 | +2 |
| 174 | +4 | 1 | +4 |
| Razem | | 10 | −26 |

\n

Średnie odchylenie od wartości bazowej:

\n
d¯=−2610=−2,6
\n

Średni wzrost:

\n
x¯=b+d¯=170+(−2,6)=167,4 cm✓
\n

Metoda ta jest szybsza, gdy wartości wzrostu są duże - operujemy na małych odchyleniach zamiast na liczbach ~170.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:

\n
a¯=a1+a2+…+ann
\n

W wersji ważonej (gdy wartości się powtarzają):

\n
x¯=x1n1+x2n2+…+xknkn1+n2+…+nk
\n

Używamy tego wzoru w Sposobie 1 - każdy wzrost mnoży się przez liczbę chłopców o tym wzroście.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że pytanie b) pyta o wzrost wyższy od średniego (czyli ściśle >167,4), nie wyższy lub równy. Wzrostu dokładnie równego 167,4 cm żaden chłopiec nie ma (i nie może mieć, bo wzrost to liczba całkowita), ale w innych zadaniach granica może trafić dokładnie na jedną z wartości - wtedy nie wliczaj jej do „wyższy od średniego".
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to policzenie liczby różnych wartości wzrostu powyżej średniej (tu: 4 wartości - 168, 170, 172, 174) zamiast liczby chłopców o tych wzrostach. Zawsze wróć do diagramu i zsumuj częstości!
\n
⚠️ Uwaga: Przy odczytywaniu diagramu słupkowego sprawdź dokładnie skalę osi - jeden „kwadracik" może oznaczać 1, 2 lub 5 uczniów. Błędne odczytanie częstości zaburza całe obliczenie.
\n

Poprawna odpowiedź:

\n\n
Sposób 1 - Obliczenie średniej ważonej
\n

Z diagramu odczytujemy liczby chłopców o danym wzroście:
| Wzrost [cm] | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 |
| Liczba | 2 | 0 | 4 | 2 | 3 | 1 | 2 | 0 | 1 |

\n

Łączna liczba chłopców: 2+4+2+3+1+2+1=15.

\n

Suma wszystkich wzrostów:

\n
2·164+4·166+2·167+3·168+169+2·170+172
\n
=328+664+334+504+169+340+172=2511.
\n

Średnia:

\n
x¯=251115=167,4 cm.
\n

b) Chłopcy o wzroście wyższym od 167,4 cm to ci o wzroście 168,169,170,172 cm:

\n
3+1+2+1=7 chłopców.
\n
Sposób 2 - Krok po kroku z diagramu
\n

Najpierw zliczamy łącznie N=15 chłopców. Potem sumujemy iloczyny wzrost × liczba i dzielimy przez 15. Wynik 167,4 cm.

\n

Dla części b) porównujemy każdą wartość wzrostu z 167,4 - wyższe są: 168,169,170,172. Zliczamy: 3+1+2+1=7.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: średnia ważona to x¯=∑nixi∑ni. Pamiętaj, że dzielimy przez łączną liczbę obserwacji, nie liczbę różnych wartości.

"}]}