{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/4","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"4","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Liczby \\(102, 105, 108, 111, \\ldots\\) są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \\((a_{n})\\). Zapisz wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz \\(a_{81}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n## Sposób 1 - odczytanie parametrów i podstawienie do wzoru\n\n**Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę ciągu.**\n\nZ treści mamy kolejne wyrazy: \\(102, 105, 108, 111, \\ldots\\)\n\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 102\\)\n- Różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\)\n\nSprawdzamy: \\(108 - 105 = 3\\) ✓, \\(111 - 108 = 3\\) ✓ - to faktycznie ciąg arytmetyczny.\n\n**Krok 2: Podstaw do wzoru ogólnego.**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n\\[a_n = 102 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\n\\[a_n = 102 + 3n - 3\\]\n\n\\[\\boxed{a_n = 3n + 99}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(a_{81}\\).**\n\n\\[a_{81} = 3 \\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = \\boxed{342}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez własność ciągu arytmetycznego\n\nWiemy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus \\(r\\). Możemy myśleć o tym inaczej: **\\(a_n\\) to \\(a_1\\) powiększone o \\((n-1)\\) kroków po \\(3\\).**\n\nDla \\(a_{81}\\) robimy \\(80\\) kroków od \\(a_1 = 102\\):\n\n\\[a_{81} = 102 + 80 \\cdot 3 = 102 + 240 = \\boxed{342}\\]\n\nWeryfikacja wzoru ogólnego - sprawdźmy kilka wyrazów:\n- \\(a_1 = 3 \\cdot 1 + 99 = 102\\) ✓\n- \\(a_2 = 3 \\cdot 2 + 99 = 105\\) ✓\n- \\(a_3 = 3 \\cdot 3 + 99 = 108\\) ✓\n\nWzór działa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako punkt wyjścia. To jedyna potrzebna tu formuła z karty.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\((n-1) \\cdot r\\) z \\(n \\cdot r\\). Wtedy wychodzi \\(a_n = 3n + 102\\) zamiast \\(3n + 99\\), co daje \\(a_1 = 105\\) - o jeden za dużo!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a_{81}\\) łatwo wstawić \\(80\\) zamiast \\(81\\) (lub odwrotnie). Pamiętaj: do wzoru ogólnego wstawiasz \\(n = 81\\) bez żadnych korekt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj \\(a_n = 102 + 3(n-1)\\) do postaci \\(3n + 99\\) - nauczyciele często wymagają wzoru w postaci \\(a_n = \\ldots\\) (z \\(n\\), bez nawiasów). Zostaw wynik w uproszczonej formie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{n} = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na ciąg arytmetyczny\nZ ciągu odczytujemy:\n- pierwszy wyraz: \\(a_{1} = 102\\);\n- różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\).\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).\n\\[a_{n} = 102 + (n-1)\\cdot 3 = 102 + 3n - 3 = 3n + 99.\\]\n\n**Wyraz \\(a_{81}\\):**\n\\[a_{81} = 3\\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = 342.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{81}\\) bezpośrednio ze wzoru\n\\[a_{81} = a_{1} + 80r = 102 + 80\\cdot 3 = 102 + 240 = 342.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za zapisanie wzoru ogólnego \\(a_{n} = 3n + 99\\) (1 pkt za podanie \\(a_{1}\\) i \\(r\\));\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{81} = 342\\).\n\n**Trik:** różnicę ciągu arytmetycznego liczymy jako \\(r = a_{2} - a_{1}\\). Wzór \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\) można zawsze rozwinąć do postaci \\(a_{n} = An + B\\) - wtedy \\(A = r\\), \\(B = a_{1} - r\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Liczby 102,105,108,111,… są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego (an). Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz a81.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: an=3n+99, a81=342

\n

Sposób 1 - odczytanie parametrów i podstawienie do wzoru

\n

Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

\n

Z treści mamy kolejne wyrazy: 102,105,108,111,…

\n\n

Sprawdzamy: 108−105=3 ✓, 111−108=3 ✓ - to faktycznie ciąg arytmetyczny.

\n

Krok 2: Podstaw do wzoru ogólnego.

\n
an=a1+(n−1)·r
\n
an=102+(n−1)·3
\n
an=102+3n−3
\n
an=3n+99
\n

Krok 3: Oblicz a81.

\n
a81=3·81+99=243+99=342
\n

Sposób 2 - weryfikacja przez własność ciągu arytmetycznego

\n

Wiemy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus r. Możemy myśleć o tym inaczej: an to a1 powiększone o (n−1) kroków po 3.

\n

Dla a81 robimy 80 kroków od a1=102:

\n
a81=102+80·3=102+240=342
\n

Weryfikacja wzoru ogólnego - sprawdźmy kilka wyrazów:

\n\n

Wzór działa.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

\n
an=a1+(n−1)·r
\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako punkt wyjścia. To jedyna potrzebna tu formuła z karty.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie (n−1)·r z n·r. Wtedy wychodzi an=3n+102 zamiast 3n+99, co daje a1=105 - o jeden za dużo!
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu a81 łatwo wstawić 80 zamiast 81 (lub odwrotnie). Pamiętaj: do wzoru ogólnego wstawiasz n=81 bez żadnych korekt.
\n
⚠️ Uwaga: Upraszczaj an=102+3(n−1) do postaci 3n+99 - nauczyciele często wymagają wzoru w postaci an=… (z n, bez nawiasów). Zostaw wynik w uproszczonej formie.
\n

Poprawna odpowiedź: an=3n+99, a81=342

\n
Sposób 1 - Wzór na ciąg arytmetyczny
\n

Z ciągu odczytujemy:

\n\n

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an=a1+(n−1)r.

\n
an=102+(n−1)·3=102+3n−3=3n+99.
\n

Wyraz a81:

\n
a81=3·81+99=243+99=342.
\n
Sposób 2 - Obliczenie a81 bezpośrednio ze wzoru
\n
a81=a1+80r=102+80·3=102+240=342.
\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: różnicę ciągu arytmetycznego liczymy jako r=a2−a1. Wzór an=a1+(n−1)r można zawsze rozwinąć do postaci an=An+B - wtedy A=r, B=a1−r.

"}]}