{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/5","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"5","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające \\(8\\) stopni po \\(15\\text{ cm}\\) wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu \\(7^{\\circ}\\). Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do \\(10\\text{ cm}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: ok. 980 cm\n\n## Sposób 1 - Trygonometria (sinus nachylenia)\n\n**Wyznaczamy całkowitą wysokość schodów.**\n\nSchody mają 8 stopni, każdy po 15 cm wysokości:\n\\[h = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}\\]\n\n**Rozumienie geometrii podjazdu.**\n\nPodjazd tworzy trójkąt prostokątny:\n- przyprostokątna pionowa = całkowita wysokość = \\(h = 120\\) cm\n- kąt nachylenia podjazdu do podłoża = \\(7°\\)\n- szukamy **długości podjazdu** = przeciwprostokątna (boku ukośnego)\n\nRelacja trygonometryczna:\n\\[\\sin 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{długość podjazdu}} = \\frac{h}{d}\\]\n\nStąd:\n\\[d = \\frac{h}{\\sin 7°} = \\frac{120}{\\sin 7°}\\]\n\nZ tablicy (karta CKE, s. 34) lub kalkulatora: \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\)\n\n\\[d = \\frac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}\\]\n\nZaokrąglamy do 10 cm:\n\n**\\[d \\approx 980 \\text{ cm}\\]**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez tangensa\n\nZamiast sinusa możemy podejść przez tangens i sprawdzić wynik.\n\n\\[\\operatorname{tg} 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{rzut poziomy}} = \\frac{h}{x}\\]\n\nRzut poziomy (podstawa trójkąta):\n\\[x = \\frac{h}{\\operatorname{tg} 7°} = \\frac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}0 \\text{ cm}\\]\n\nTeraz z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość podjazdu (przeciwprostokątną):\n\\[d = \\sqrt{h^2 + x^2} = \\sqrt{120^2 + 977^2} = \\sqrt{14400 + 954529} = \\sqrt{968929} \\approx 984{,}3 \\text{ cm}\\]\n\nPo zaokrągleniu do 10 cm: **\\(d \\approx 980\\) cm** ✓\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\n\nW naszym zadaniu: kąt \\(\\alpha = 7°\\), przyprostokątna pionowa \\(a = 120\\) cm, szukamy \\(c\\) (długości podjazdu).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - wartość \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\) odczytana z tablicy na ostatniej stronie karty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wysokości **jednego stopnia** z **całkowitą wysokością**. Całkowita wysokość to \\(8 \\times 15 = 120\\) cm - tu uczniowie często piszą samo 15 cm i liczą dalej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Długość podjazdu to **przeciwprostokątna**, nie podstawa trójkąta (rzut poziomy). Schemat: nachylenie 7° jest między poziomem a podjazdem, więc sinus łączy wysokość z długością ukośną - NIE z rzutem poziomym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie \"do 10 cm\" oznacza, że wynik \\(984{,}4\\) cm zaokrąglamy do **980 cm** (cyfra jedności i dziesiątek → 0). Zaokrąglanie do 10 cm = patrzymy na cyfrę jedności: \\(4 < 5\\), więc w dół.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\approx 980\\) cm\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym\n**Krok 1 - wysokość schodów:**\n\\[BC = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2 - rysunek:** podjazd to przeciwprostokątna \\(AC\\) trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej \\(BC = 120\\) cm i kącie \\(\\angle CAB = 7^{\\circ}\\).\n\n**Krok 3 - sinus kąta ostrego:**\n\\[\\sin\\angle CAB = \\dfrac{BC}{AC} \\Rightarrow AC = \\dfrac{BC}{\\sin 7^{\\circ}}.\\]\n\n**Krok 4 - podstawienie (z tablic \\(\\sin 7^{\\circ} \\approx 0{,}1219\\)):**\n\\[AC = \\dfrac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 5 - zaokrąglenie do \\(10\\) cm:**\n\\[AC \\approx 980 \\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Użycie tangensa i twierdzenia Pitagorasa\n\\(\\tan 7^{\\circ} = \\dfrac{BC}{AB} \\Rightarrow AB = \\dfrac{120}{\\tan 7^{\\circ}} = \\dfrac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}2\\) cm.\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(AC = \\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \\sqrt{977{,}2^{2} + 120^{2}} \\approx 984{,}5\\) cm \\(\\approx 980\\) cm.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za rysunek lub oznaczenia;\n- 1 pkt za obliczenie wysokości \\(BC = 120\\) cm;\n- 1 pkt za odczyt \\(\\sin 7^{\\circ} = 0{,}1219\\) (lub innego poprawnego przybliżenia);\n- 2 pkt za obliczenie długości podjazdu i podanie wyniku z zaokrągleniem (\\(980\\) cm).\n\n**Trik:** przy małych kątach \\(\\sin \\alpha \\approx \\alpha\\) w radianach - ale w zadaniu maturalnym zawsze używamy tablic!","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15 cm wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu 7∘. Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10 cm.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: ok. 980 cm

\n

Sposób 1 - Trygonometria (sinus nachylenia)

\n

Wyznaczamy całkowitą wysokość schodów.

\n

Schody mają 8 stopni, każdy po 15 cm wysokości:

\n
h=8·15=120 cm
\n

Rozumienie geometrii podjazdu.

\n

Podjazd tworzy trójkąt prostokątny:

\n\n

Relacja trygonometryczna:

\n
sin7°=wysokośćdługość podjazdu=hd
\n

Stąd:

\n
d=hsin7°=120sin7°
\n

Z tablicy (karta CKE, s. 34) lub kalkulatora: sin7°≈0,1219

\n
d=1200,1219≈984,4 cm
\n

Zaokrąglamy do 10 cm:

\n

d≈980 cm

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez tangensa

\n

Zamiast sinusa możemy podejść przez tangens i sprawdzić wynik.

\n
tg7°=wysokośćrzut poziomy=hx
\n

Rzut poziomy (podstawa trójkąta):

\n
x=htg7°=1200,1228≈977,0 cm
\n

Teraz z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość podjazdu (przeciwprostokątną):

\n
d=h2+x2=1202+9772=14400+954529=968929≈984,3 cm
\n

Po zaokrągleniu do 10 cm: d≈980 cm ✓

\n

Wynik zgodny z Metodą 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:

\n
sinα=przeciwprostokątnaprzyprostokątna⇒sinα=ac
\n

W naszym zadaniu: kąt α=7°, przyprostokątna pionowa a=120 cm, szukamy c (długości podjazdu).

\n

Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34) - wartość sin7°≈0,1219 odczytana z tablicy na ostatniej stronie karty.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie myl wysokości jednego stopnia z całkowitą wysokością. Całkowita wysokość to 8×15=120 cm - tu uczniowie często piszą samo 15 cm i liczą dalej!
\n
⚠️ Uwaga: Długość podjazdu to przeciwprostokątna, nie podstawa trójkąta (rzut poziomy). Schemat: nachylenie 7° jest między poziomem a podjazdem, więc sinus łączy wysokość z długością ukośną - NIE z rzutem poziomym.
\n
⚠️ Uwaga: Zaokrąglenie "do 10 cm" oznacza, że wynik 984,4 cm zaokrąglamy do 980 cm (cyfra jedności i dziesiątek → 0). Zaokrąglanie do 10 cm = patrzymy na cyfrę jedności: 4<5, więc w dół.
\n

Poprawna odpowiedź: ≈980 cm

\n
Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym
\n

Krok 1 - wysokość schodów:

\n
BC=8·15=120 cm.
\n

Krok 2 - rysunek: podjazd to przeciwprostokątna AC trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej BC=120 cm i kącie ∠CAB=7∘.

\n

Krok 3 - sinus kąta ostrego:

\n
sin∠CAB=BCAC⇒AC=BCsin7∘.
\n

Krok 4 - podstawienie (z tablic sin7∘≈0,1219):

\n
AC=1200,1219≈984,4 cm.
\n

Krok 5 - zaokrąglenie do 10 cm:

\n
AC≈980 cm.
\n
Sposób 2 - Użycie tangensa i twierdzenia Pitagorasa
\n

tan7∘=BCAB⇒AB=120tan7∘=1200,1228≈977,2 cm.
Z twierdzenia Pitagorasa: AC=AB2+BC2=977,22+1202≈984,5 cm ≈980 cm.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przy małych kątach sinα≈α w radianach - ale w zadaniu maturalnym zawsze używamy tablic!

"}]}