{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/6","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"6","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Ciąg \\((a_{n})\\) określony jest wzorem \\(\\begin{cases} a_{1}=1 \\\\ a_{2}=2 \\\\ a_{n+2}=2^{n-1}+a_{n}+a_{n+1} \\end{cases}\\) dla \\(n \\in N \\setminus \\{0\\}\\). Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - iteracyjne wyznaczanie kolejnych wyrazów\n\nMamy dane:\n\\[a_1 = 1, \\quad a_2 = 2\\]\noraz regułę rekurencyjną:\n\\[a_{n+2} = 2^{n-1} + a_n + a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_3\\)** - podstawiamy \\(n = 1\\):\n\\[a_3 = a_{1+2} = 2^{1-1} + a_1 + a_2 = 2^0 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_4\\)** - podstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_4 = a_{2+2} = 2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2^1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 4 = \\mathbf{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie ciągu\n\nWypisujemy kolejne wyrazy, żeby upewnić się, że nie pomyliliśmy indeksów:\n\n| \\(n\\) | \\(a_n\\) | Skąd? |\n| 1 | \\(1\\) | dane |\n| 2 | \\(2\\) | dane |\n| 3 | \\(2^{1-1} + a_1 + a_2 = 1 + 1 + 2 = 4\\) | \\(n=1\\) w regule |\n| 4 | \\(2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2 + 2 + 4 = 8\\) | \\(n=2\\) w regule |\n\nKluczowe: reguła mówi \\(a_{n+2} = \\ldots\\), więc aby dostać wyraz o indeksie \\(k\\), podstawiamy \\(n = k - 2\\). Dla \\(a_4\\) mamy \\(n = 2\\), więc potęga to \\(2^{n-1} = 2^1 = 2\\).\n\n**Potwierdzamy: \\(a_4 = 8\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważne podstawienie do wzoru rekurencyjnego zgodnie z podaną definicją ciągu.\n\nWarto jednak pamiętać, że ciągi są omówione w **Dziale 8 (Ciągi, s. 9-10)** - tam znajdziesz wzory na ciągi arytmetyczne i geometryczne, ale ten ciąg jest rekurencyjny i nie należy do żadnego z tych typów.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Indeks w potędze to \\(2^{n-1}\\), a **nie** \\(2^{n}\\) ani \\(2^{n+1}\\). Przy obliczaniu \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=1\\), więc potęga wynosi \\(2^0 = 1\\), a nie \\(2\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reguła \\(a_{n+2} = \\ldots\\) wiąże trzy wyrazy: \\(a_{n+2}\\), \\(a_{n+1}\\) i \\(a_n\\). Nie myl indeksów - do obliczenia \\(a_4\\) potrzebujesz \\(a_3\\) i \\(a_2\\), a nie \\(a_4\\) i \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Definicja działa dla \\(n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\), czyli \\(n \\geq 1\\). Nie możemy podstawić \\(n = 0\\) - wtedy \\(a_2\\) byłoby wyznaczone z reguły zamiast być daną, co dałoby sprzeczność.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{4} = 8\\)\n\n### Sposób 1 - Iteracyjne obliczanie wyrazów\nZ rekurencji \\(a_{n+2} = 2^{n-1} + a_{n} + a_{n+1}\\) podstawiamy kolejno \\(n = 1, 2\\).\n\n**Dla \\(n = 1\\):** \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2} = 1 + 1 + 2 = 4\\).\n\n**Dla \\(n = 2\\):** \\(a_{4} = 2^{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 2 + 4 = 8\\).\n\nZatem \\(a_{4} = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Tabelka\n| \\(n\\) | \\(a_{n}\\) | Obliczenie |\n| 1 | 1 | dane |\n| 2 | 2 | dane |\n| 3 | 4 | \\(2^{0} + 1 + 2 = 4\\) |\n| 4 | 8 | \\(2^{1} + 2 + 4 = 8\\) |\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za zapisanie zależności \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2}\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{3} = 4\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{4} = 8\\).\n\n**Trik:** ciągi rekurencyjne zawsze oblicza się **po kolei** - nie ma tu wzoru jawnego, trzeba krok po kroku wyznaczyć \\(a_{3}\\), a dopiero potem \\(a_{4}\\). Uważaj na indeksy wykładnika: \\(2^{n-1}\\) dla \\(n=1\\) daje \\(2^{0}=1\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Ciąg (an) określony jest wzorem {a1=1a2=2an+2=2n−1+an+an+1 dla n∈N⧵{0}. Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: a4=8

\n

Sposób 1 - iteracyjne wyznaczanie kolejnych wyrazów

\n

Mamy dane:

\n
a1=1,a2=2
\n

oraz regułę rekurencyjną:

\n
an+2=2n−1+an+an+1dla n∈ℕ⧵{0}
\n

Wyznaczamy a3 - podstawiamy n=1:

\n
a3=a1+2=21−1+a1+a2=20+1+2=1+1+2=4
\n

Wyznaczamy a4 - podstawiamy n=2:

\n
a4=a2+2=22−1+a2+a3=21+2+4=2+2+4=8
\n

Odpowiedź: a4=8

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie ciągu

\n

Wypisujemy kolejne wyrazy, żeby upewnić się, że nie pomyliliśmy indeksów:

\n

| n | an | Skąd? |
| 1 | 1 | dane |
| 2 | 2 | dane |
| 3 | 21−1+a1+a2=1+1+2=4 | n=1 w regule |
| 4 | 22−1+a2+a3=2+2+4=8 | n=2 w regule |

\n

Kluczowe: reguła mówi an+2=…, więc aby dostać wyraz o indeksie k, podstawiamy n=k−2. Dla a4 mamy n=2, więc potęga to 2n−1=21=2.

\n

Potwierdzamy: a4=8 ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważne podstawienie do wzoru rekurencyjnego zgodnie z podaną definicją ciągu.

\n

Warto jednak pamiętać, że ciągi są omówione w Dziale 8 (Ciągi, s. 9-10) - tam znajdziesz wzory na ciągi arytmetyczne i geometryczne, ale ten ciąg jest rekurencyjny i nie należy do żadnego z tych typów.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Indeks w potędze to 2n−1, a nie 2n ani 2n+1. Przy obliczaniu a3 podstawiamy n=1, więc potęga wynosi 20=1, a nie 2. To najczęstszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Reguła an+2=… wiąże trzy wyrazy: an+2, an+1 i an. Nie myl indeksów - do obliczenia a4 potrzebujesz a3 i a2, a nie a4 i a3.
\n
⚠️ Uwaga: Definicja działa dla n∈ℕ⧵{0}, czyli n≥1. Nie możemy podstawić n=0 - wtedy a2 byłoby wyznaczone z reguły zamiast być daną, co dałoby sprzeczność.
\n

Poprawna odpowiedź: a4=8

\n
Sposób 1 - Iteracyjne obliczanie wyrazów
\n

Z rekurencji an+2=2n−1+an+an+1 podstawiamy kolejno n=1,2.

\n

Dla n=1: a3=20+a1+a2=1+1+2=4.

\n

Dla n=2: a4=21+a2+a3=2+2+4=8.

\n

Zatem a4=8.

\n
Sposób 2 - Tabelka
\n

| n | an | Obliczenie |
| 1 | 1 | dane |
| 2 | 2 | dane |
| 3 | 4 | 20+1+2=4 |
| 4 | 8 | 21+2+4=8 |

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: ciągi rekurencyjne zawsze oblicza się po kolei - nie ma tu wzoru jawnego, trzeba krok po kroku wyznaczyć a3, a dopiero potem a4. Uważaj na indeksy wykładnika: 2n−1 dla n=1 daje 20=1.

"}]}