{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/7","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"7","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej \\(f\\). Wykres funkcji \\(g\\) jest obrazem wykresu funkcji \\(f\\) otrzymanym za pomocą przesunięcia o wektor \\(\\vec{u} = [2, 1]\\). Wyznacz miejsca zerowe funkcji \\(g\\).\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z7.png","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu + wzór funkcji g\n\n**Krok 1: Odczytaj wzór funkcji f z wykresu.**\n\nZ wykresu odczytujemy, że prosta przechodzi przez punkty \\((-4,\\ 0)\\) i \\((0,\\ 8)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{8 - 0}{0 - (-4)} = \\frac{8}{4} = 2\\]\n\nWyraz wolny \\(b = 8\\) (punkt przecięcia z osią OY), więc:\n\\[f(x) = 2x + 8\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wzór funkcji g.**\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) oznacza:\n- każdy punkt \\((x,\\ y)\\) na wykresie f przesuwa się do punktu \\((x+2,\\ y+1)\\) na wykresie g\n\nDlatego wzór funkcji g po przesunięciu to:\n\\[g(x) = f(x - 2) + 1\\]\n\nPodstawiamy wzór f:\n\\[g(x) = 2(x-2) + 8 + 1 = 2x - 4 + 9 = 2x + 5\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz miejsce zerowe funkcji g.**\n\nSzukamy \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\):\n\\[2x + 5 = 0\\]\n\\[2x = -5\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - geometryczny (śledzenie punktu na f)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Miejsce zerowe g to punkt, w którym wykres g przecina oś OX - czyli punkt postaci \\((x_g,\\ 0)\\). Skoro jest on obrazem pewnego punktu \\((x_f,\\ y_f)\\) z wykresu f przesuniętego o \\([2, 1]\\), to:\n\\[(x_f + 2,\\ y_f + 1) = (x_g,\\ 0)\\]\n\nStąd \\(y_f + 1 = 0\\), czyli \\(y_f = -1\\).\n\n**Krok 1:** Znajdź punkt na wykresie f, gdzie \\(f(x) = -1\\):\n\\[2x + 8 = -1\\]\n\\[2x = -9\\]\n\\[x_f = -\\frac{9}{2} = -4{,}5\\]\n\nPunkt \\((-4{,}5;\\ -1)\\) leży na wykresie f.\n\n**Krok 2:** Przesuń ten punkt o wektor \\([2,\\ 1]\\):\n\\[(-4{,}5 + 2;\\ -1 + 1) = (-2{,}5;\\ 0)\\]\n\nPunkt \\((-2{,}5;\\ 0)\\) leży na osi OX i na wykresie g - to właśnie **miejsce zerowe funkcji g**.\n\\[\\boxed{x = -2{,}5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f(x) = 2x + 8\\) na podstawie dwóch punktów odczytanych z wykresu.\n\n> Właściwość przesunięcia o wektor \\([p,\\ q]\\): wzór funkcji zmienia się zgodnie z \\(g(x) = f(x - p) + q\\). To wynika z geometrii przekształceń - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale warto zapamiętać regułę: **przesunięcie w prawo o p → odejmujemy p od argumentu**.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) to NIE jest \\(g(x) = f(x+2) + 1\\)! W argumencie pojawia się \\(x - 2\\) (odjęcie), bo punkt \\((x,y)\\) przechodzi do \\((x+2, y+1)\\), więc odwracamy - żeby \"wrócić\" do f, wstawiamy \\(x-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe funkcji f (tutaj \\(x = -4\\)) to nie to samo co miejsce zerowe g. Nie wystarczy do zera f dodać 2 - trzeba uwzględnić oba składowe wektora.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu - sprawdź dwa punkty, żeby upewnić się co do wartości współczynnika kierunkowego. Pomyłka w nachyleniu pociągnie błąd we wzorze g i złą odpowiedź.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -2{,}5\\)\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie punktów i wyznaczenie wzoru \\(g\\)\nZ wykresu odczytujemy punkty należące do prostej \\(f\\): np. \\((-2, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((3, 2)\\).\n\n**Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\):**\n- \\((-2, 0) \\to (0, 1)\\)\n- \\((3, 2) \\to (5, 3)\\)\n\n**Wyznaczenie wzoru funkcji \\(g\\) z punktów \\((0, 1)\\) i \\((5, 3)\\):**\n\\[a = \\dfrac{3-1}{5-0} = \\dfrac{2}{5}, \\quad b = 1.\\]\n\\[g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\n\n**Miejsce zerowe:**\n\\[\\tfrac{2}{5}x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Przesunięcie miejsca zerowego wzdłuż wektora\nMiejsce zerowe funkcji liniowej \\(f\\) to \\(x_{0} = -2\\) (punkt \\((-2, 0)\\) z wykresu). Po przesunięciu o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\) punkt \\((-2, 0)\\) przechodzi na \\((0, 1)\\) - to **nie** jest miejsce zerowe \\(g\\), bo \\(y \\ne 0\\).\n\nWyznaczamy wzór \\(f\\) z wykresu: \\(f(x) = \\tfrac{2}{5}x + \\tfrac{4}{5}\\) (nachylenie \\(\\tfrac{2}{5}\\), miejsce zerowe \\(-2\\)).\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\([2,1]\\) odpowiada zamianie \\(x \\to x-2, y \\to y-1\\):\n\\[y - 1 = f(x-2) = \\tfrac{2}{5}(x-2) + \\tfrac{4}{5}\\]\n\\[y = \\tfrac{2}{5}x - \\tfrac{4}{5} + \\tfrac{4}{5} + 1 = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\nZatem \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\), a miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(f\\) lub za wyznaczenie obrazów dwóch punktów (po 1 pkt za każdy obraz);\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\) (1 pkt za zapis układu \\(x = x'-2, y = y'-1\\));\n- 1 pkt za miejsce zerowe \\(x = -2{,}5\\).\n\n**Trik:** przesunięcie wykresu \\(y = f(x)\\) o wektor \\([p, q]\\) daje wykres \\(y = f(x-p) + q\\). Miejsce zerowe przesuwa się wzdłuż osi \\(OX\\) o tyle, ile wynosi **całkowite** przesunięcie - nie tylko składowa wektora!","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej f. Wykres funkcji g jest obrazem wykresu funkcji f otrzymanym za pomocą przesunięcia o wektor u→=[2,1]. Wyznacz miejsca zerowe funkcji g.

\n

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z7.png

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: x=−2,5

\n

Sposób 1 - odczyt z wykresu + wzór funkcji g

\n

Krok 1: Odczytaj wzór funkcji f z wykresu.

\n

Z wykresu odczytujemy, że prosta przechodzi przez punkty (−4, 0) i (0, 8).

\n

Współczynnik kierunkowy:

\n
a=8−00−(−4)=84=2
\n

Wyraz wolny b=8 (punkt przecięcia z osią OY), więc:

\n
f(x)=2x+8
\n

Krok 2: Wyznacz wzór funkcji g.

\n

Przesunięcie wykresu o wektor u→=[2, 1] oznacza:

\n\n

Dlatego wzór funkcji g po przesunięciu to:

\n
g(x)=f(x−2)+1
\n

Podstawiamy wzór f:

\n
g(x)=2(x−2)+8+1=2x−4+9=2x+5
\n

Krok 3: Wyznacz miejsce zerowe funkcji g.

\n

Szukamy x, dla którego g(x)=0:

\n
2x+5=0
\n
2x=−5
\n
x=−52=−2,5
\n

Sposób 2 - geometryczny (śledzenie punktu na f)

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Miejsce zerowe g to punkt, w którym wykres g przecina oś OX - czyli punkt postaci (xg, 0). Skoro jest on obrazem pewnego punktu (xf, yf) z wykresu f przesuniętego o [2,1], to:

\n
(xf+2, yf+1)=(xg, 0)
\n

Stąd yf+1=0, czyli yf=−1.

\n

Krok 1: Znajdź punkt na wykresie f, gdzie f(x)=−1:

\n
2x+8=−1
\n
2x=−9
\n
xf=−92=−4,5
\n

Punkt (−4,5; −1) leży na wykresie f.

\n

Krok 2: Przesuń ten punkt o wektor [2, 1]:

\n
(−4,5+2; −1+1)=(−2,5; 0)
\n

Punkt (−2,5; 0) leży na osi OX i na wykresie g - to właśnie miejsce zerowe funkcji g.

\n
x=−2,5
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:

\n
y=ax+b,gdzie a=tgα
\n

Użyliśmy tego do wyznaczenia wzoru f(x)=2x+8 na podstawie dwóch punktów odczytanych z wykresu.

\n
Właściwość przesunięcia o wektor [p, q]: wzór funkcji zmienia się zgodnie z g(x)=f(x−p)+q. To wynika z geometrii przekształceń - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale warto zapamiętać regułę: przesunięcie w prawo o p → odejmujemy p od argumentu.
\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Przesunięcie o u→=[2, 1] to NIE jest g(x)=f(x+2)+1! W argumencie pojawia się x−2 (odjęcie), bo punkt (x,y) przechodzi do (x+2,y+1), więc odwracamy - żeby "wrócić" do f, wstawiamy x−2.
\n
⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe funkcji f (tutaj x=−4) to nie to samo co miejsce zerowe g. Nie wystarczy do zera f dodać 2 - trzeba uwzględnić oba składowe wektora.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odczycie z wykresu - sprawdź dwa punkty, żeby upewnić się co do wartości współczynnika kierunkowego. Pomyłka w nachyleniu pociągnie błąd we wzorze g i złą odpowiedź.
\n

Poprawna odpowiedź: x=−2,5

\n
Sposób 1 - Przesunięcie punktów i wyznaczenie wzoru g
\n

Z wykresu odczytujemy punkty należące do prostej f: np. (−2,0) (miejsce zerowe) i (3,2).

\n

Przesunięcie o u→=[2,1]:

\n\n

Wyznaczenie wzoru funkcji g z punktów (0,1) i (5,3):

\n
a=3−15−0=25,b=1.
\n
g(x)=25x+1.
\n

Miejsce zerowe:

\n
25x+1=0⇒x=−52=−2,5.
\n
Sposób 2 - Przesunięcie miejsca zerowego wzdłuż wektora
\n

Miejsce zerowe funkcji liniowej f to x0=−2 (punkt (−2,0) z wykresu). Po przesunięciu o u→=[2,1] punkt (−2,0) przechodzi na (0,1) - to nie jest miejsce zerowe g, bo y≠0.

\n

Wyznaczamy wzór f z wykresu: f(x)=25x+45 (nachylenie 25, miejsce zerowe −2).

\n

Przesunięcie wykresu o wektor [2,1] odpowiada zamianie x→x−2,y→y−1:

\n
y−1=f(x−2)=25(x−2)+45
\n
y=25x−45+45+1=25x+1.
\n

Zatem g(x)=25x+1, a miejsce zerowe: x=−52=−2,5.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przesunięcie wykresu y=f(x) o wektor [p,q] daje wykres y=f(x−p)+q. Miejsce zerowe przesuwa się wzdłuż osi OX o tyle, ile wynosi całkowite przesunięcie - nie tylko składowa wektora!

"}]}