{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/9","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"9","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":")_ Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan przedstawiony jest\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z9.png\n\n. Zakładamy, że kąty ABC i ECD są kątami prostymi. D 4 m E C 10 m 8 m A 16 m B Odp. Pole działki jest równe _Egzamin maturalny z matematyki Arkusz I _7","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P = 124 \\text{ m}^2\\)\n\n## Sposob 1 - podzial figury na trapez i trojkat\n\n**Dane z rysunku:**\n- \\(AB = 16\\) m, \\(BC = 8\\) m - kat \\(ABC\\) jest prosty\n- \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m - kat \\(ECD\\) jest prosty\n- punkt \\(E\\) lezy na odcinku \\(AD\\)\n\n**Krok 1 - podziel dzialke na dwie znane figury.**\n\nFigura \\(ABCDE\\) rozpada sie na:\n- **trapez prostokatny \\(ABCE\\)** o podstawach \\(AB = 16\\) m i \\(CE = 10\\) m oraz wysokosci \\(BC = 8\\) m (kat prosty przy \\(B\\)),\n- **trojkat prostokatny \\(CDE\\)** o przyprostokatnych \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)).\n\n**Krok 2 - pole trapezu \\(ABCE\\).**\n\\[P_{ABCE} = \\frac{(AB + CE) \\cdot BC}{2} = \\frac{(16 + 10) \\cdot 8}{2} = \\frac{26 \\cdot 8}{2} = \\frac{208}{2} = 104 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 3 - pole trojkata prostokatnego \\(CDE\\).**\n\\[P_{CDE} = \\frac{1}{2} \\cdot CE \\cdot CD = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 4 - pole calej dzialki.**\n\\[P = P_{ABCE} + P_{CDE} = 104 + 20 = \\boxed{124 \\text{ m}^2}\\]\n\n## Sposob 2 - prostokat minus trojkat (kontrola wyniku)\n\nDolozmy do trapezu prostokat \\(ABCF\\) o bokach \\(AB = 16\\) m i \\(BC = 8\\) m, a nastepnie odejmijmy nadmiar.\n\n**Prostokat \\(ABCF\\):**\n\\[P_{prost} = 16 \\cdot 8 = 128 \\text{ m}^2\\]\n\nGorny bok \\(CE = 10\\) m jest krotszy od \\(AB = 16\\) m o \\(16 - 10 = 6\\) m, wiec nad odcinkiem \\(CE\\) brakuje trojkata o podstawie \\(6\\) m i wysokosci \\(8\\) m:\n\\[P_{ubytek} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ m}^2\\]\n\nZatem trapez ma pole \\(128 - 24 = 104\\) m\\(^2\\), a po dodaniu trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)):\n\\[P = 104 + 20 = 124 \\text{ m}^2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzial 11 (Planimetria)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\]\ngdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Uzyte do trapezu \\(ABCE\\).\n\n**Pole trojkata prostokatnego** - polowa iloczynu przyprostokatnych:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\nUzyte do trojkata \\(CDE\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 Klucz CKE: pole dzialki wynosi \\(124\\) m\\(^2\\). Punktowane: obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) (\\(104\\) m\\(^2\\)), obliczenie pola trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)) oraz zsumowanie na pole calej dzialki (\\(124\\) m\\(^2\\)).\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: kluczowy jest poprawny podzial figury. Jesli pomylisz, ktore odcinki sa podstawami trapezu (\\(AB\\) i \\(CE\\)), a ktory wysokoscia (\\(BC\\)), wyjdzie zly wynik.\n\n> Uwaga: w trojkacie \\(CDE\\) przyprostokatnymi sa \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)) - odcinek \\(DE\\) to przeciwprostokatna i NIE uzywamy go do pola.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P = 124 \\text{ m}^{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Rozbicie na trójkąt i trapez\nDzielimy figurę na dwie części:\n- **trójkąt prostokątny \\(CED\\)** (kąt prosty w \\(C\\)): \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m;\n- **trapez prostokątny \\(ABCE\\)** (kąty proste przy \\(A\\) i \\(B\\)): podstawy \\(AB = 16\\) m oraz \\(CE = 10\\) m, wysokość \\(BC = 8\\) m.\n\n**Pole trójkąta \\(CED\\):**\n\\[P_{\\triangle CED} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole trapezu \\(ABCE\\):**\n\\[P_{ABCE} = \\dfrac{(AB + CE)\\cdot BC}{2} = \\dfrac{(16 + 10)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{208}{2} = 104 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole działki:**\n\\[P = P_{\\triangle CED} + P_{ABCE} = 20 + 104 = 124 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty\nMożna też dostawić prostokąt do trapezu i odjąć nadmiary - ale metoda powyższa jest najkrótsza.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie pola trójkąta \\(CED\\) \\((20\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) \\((104\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za podanie pola całej działki \\((124\\) m\\(^{2}\\)).\n\n**Trik:** przy figurach złożonych zawsze dziel na znane kształty (prostokąty, trójkąty, trapezy). Wzór na pole trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)\\cdot h}{2}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

)_ Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan przedstawiony jest

\n

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z9.png

\n

. Zakładamy, że kąty ABC i ECD są kątami prostymi. D 4 m E C 10 m 8 m A 16 m B Odp. Pole działki jest równe _Egzamin maturalny z matematyki Arkusz I _7

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: P=124 m2

\n

Sposob 1 - podzial figury na trapez i trojkat

\n

Dane z rysunku:

\n\n

Krok 1 - podziel dzialke na dwie znane figury.

\n

Figura ABCDE rozpada sie na:

\n\n

Krok 2 - pole trapezu ABCE.

\n
PABCE=(AB+CE)·BC2=(16+10)·82=26·82=2082=104 m2
\n

Krok 3 - pole trojkata prostokatnego CDE.

\n
PCDE=12·CE·CD=12·10·4=20 m2
\n

Krok 4 - pole calej dzialki.

\n
P=PABCE+PCDE=104+20=124 m2
\n

Sposob 2 - prostokat minus trojkat (kontrola wyniku)

\n

Dolozmy do trapezu prostokat ABCF o bokach AB=16 m i BC=8 m, a nastepnie odejmijmy nadmiar.

\n

Prostokat ABCF:

\n
Pprost=16·8=128 m2
\n

Gorny bok CE=10 m jest krotszy od AB=16 m o 16−10=6 m, wiec nad odcinkiem CE brakuje trojkata o podstawie 6 m i wysokosci 8 m:

\n
Pubytek=12·6·8=24 m2
\n

Zatem trapez ma pole 128−24=104 m2, a po dodaniu trojkata CDE (20 m2):

\n
P=104+20=124 m2✓
\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dzial 11 (Planimetria) - pole trapezu:

\n
P=(a+b)·h2
\n

gdzie a,b to podstawy, h - wysokosc. Uzyte do trapezu ABCE.

\n

Pole trojkata prostokatnego - polowa iloczynu przyprostokatnych:

\n
P=12·a·b
\n

Uzyte do trojkata CDE.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Klucz CKE: pole dzialki wynosi 124 m2. Punktowane: obliczenie pola trapezu ABCE (104 m2), obliczenie pola trojkata CDE (20 m2) oraz zsumowanie na pole calej dzialki (124 m2).
\n

Typowe pulapki

\n
Uwaga: kluczowy jest poprawny podzial figury. Jesli pomylisz, ktore odcinki sa podstawami trapezu (AB i CE), a ktory wysokoscia (BC), wyjdzie zly wynik.
\n
Uwaga: w trojkacie CDE przyprostokatnymi sa CE=10 m i CD=4 m (kat prosty przy C) - odcinek DE to przeciwprostokatna i NIE uzywamy go do pola.
\n

Poprawna odpowiedź: P=124 m2

\n
Sposób 1 - Rozbicie na trójkąt i trapez
\n

Dzielimy figurę na dwie części:

\n\n

Pole trójkąta CED:

\n
P△CED=12·10·4=20 m2.
\n

Pole trapezu ABCE:

\n
PABCE=(AB+CE)·BC2=(16+10)·82=2082=104 m2.
\n

Pole działki:

\n
P=P△CED+PABCE=20+104=124 m2.
\n
Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty
\n

Można też dostawić prostokąt do trapezu i odjąć nadmiary - ale metoda powyższa jest najkrótsza.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przy figurach złożonych zawsze dziel na znane kształty (prostokąty, trójkąty, trapezy). Wzór na pole trapezu: P=(a+b)·h2.

"}]}