Matematyka · Informator maturalny · 2010

Zadanie 1. (1 pkt) Punkty ( ) 2 ,1 - A , ( ) 2 ,4 C są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Wysokość tego trójkąta jest równa A. 2 3 5 B. 3 3 5 C. 6 3 5 D. 9 3 5

Zadanie 2. (1 pkt) Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. 3 2 ≤ x B. 3 2 ≤ x C. 2 3 ≤ x D. 2 3 ≤ x

Zadanie 3. (1 pkt) Drut o długości 27 m pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy 2:3:4. Jaką długość ma najkrótsza z tych części? A. 4,5 m B. 6 m C. 6,75 m D. 9 m

Zadanie 4. (1 pkt) Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu 2 y x z okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Zadanie 5. (1 pkt) Liczby: 11 ,3 ,1 x , w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa A. 5 B. 9 C. 16 D. 20 5 1 x Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poz

Zadanie 6. (1 pkt) Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji ( ) x f y = Funkcja przedstawiona na rysunku 2. jest określona wzorem A. ( ) 2 y f x B. ( ) 2 y f x C. ( ) 2 y f x D. ( ) 2 y f x

Zadanie 7. (1 pkt) Kąt α jest ostry i 4 3 cos α . Wtedy α sin jest równy A. 4 1 B. 4 7 C. 16 7 D. 16 7

Zadanie 8. (1 pkt) Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział ) 2, ∞. A. 2 2 2 + x y B. ( ) 2 1 2 - x y C. ( ) 2 1 2 2 + x y D. ( ) 2 1 2 - = x y

Zadanie 9. (1 pkt) Liczba log36 jest równa A. 2log18 B. log 40 2log 2 C. 2log 4 3log 2 D. 2log6 log1

Zadanie 10. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste? A. 16 B. 20 C. 24 D. 25

Zadanie 11. (1 pkt) Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Podstawa tego stożka jest kołem o promieniu A. 12 cm B. 6 cm C. 3 cm D. 1 cm 0 1 1 x y ( ) x f y = 0 1 1 x y Rys. 1. Rys. 2.

Zadanie 12. (1 pkt) Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa A. 6 B. 5 C. 4,5 D. 4

Zadanie 13. (1 pkt) Prosta l ma równanie 11 2 - x y . Wskaż równanie prostej równoległej do l. A. x y 2 B. x y 2 C. x y 2 1 D. x y 2 1

Zadanie 14. (1 pkt) Liczba rozwiązań równania ( )( ) 0 2 5 3 x x x jest równa A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Zadanie 15. (1 pkt) Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności 3 6 1 4 x x < A. ( ) 2 ,- ∞ B. ( ) 2 , ∞ C. ( ) ∞ -,2 D. ( ) ∞ ,2

Zadanie 16. (1 pkt) Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 × 4 × 5 ma długość A. 5 2 B. 3 2 C. 2 5 D. 15 2

Zadanie 17. (1 pkt) Liczba 7 x jest miejscem zerowym funkcji liniowej ( ) ( ) 7 3 x a x f dla A. 7 a B. 2 a C. 3 a D. 1 a

Zadanie 18. (1 pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności 2 9 x ≥ jest A. ) ( ∞ ∪ ∞ ,3 3 , B. 3 ,3 C. ) ∞ -,3 D. ) ∞ ,3 liczba osób 1 2 3 4 5 6 1 ocena 0 2 3 4 5 6 7 8 Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstaw

Zadanie 19. (1 pkt) Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy A. ° 50 B. ° 40 C. ° 30 D. ° 10

Zadanie 20. (1 pkt) Która z liczb jest rozwiązaniem równania ( ) ( ) x x x x 3 2 3 1 2 ? A. 11 8 B. 11 4 C. 7 4 D. 1

Zadanie 21. (1 pkt) Liczba 40 20 2 4 ⋅ jest równa A. 40 4 B. 50 4 C. 60 8 D. 800 8

Zadanie 22. (1 pkt) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A. 3,2 B. 32 C. 100 D. 200

Zadanie 23. (1 pkt) Kąt α jest ostry i cos 0,9 α = . Wówczas A. o 30 α < B. o 30 α = C. o 45 α = D. o 45 α >

Zadanie 24. (1 pkt) Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy ( 2) Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. 16 B. 16 C. 8 D. 8

Zadanie 25. (1 pkt) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy A. 0,3 p < B. 0,3 p = C. 1 3 p = D. 1 3 p > ° 40 ° 30 α

Zadanie 26. (2 pkt) Dany jest ciąg ( ) n a określony wzorem ( ) 2 2 1 n n a n n dla 1 ≥ n . Oblicz 2 a i 5 a . Odpowiedź: 2 a = i 5 a = Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy 45

Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie 0 12 12 2 3 x x x Odpowiedź:

Zadanie 28. (2 pkt) Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD , w którym AB CD. Udowodnij, że AED BAE CDE ) ) ) Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy 46

Zadanie 29. (2 pkt) Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających nierówność 9 5 9 4 < < b a Odpowiedź: Liczby takie to np.: a = i b =

Zadanie 30. (2 pkt) Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d . Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b sta

Zadanie 31. (6 pkt) Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędko

Zadanie 32. (4 pkt) Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe , 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli.

Zadanie 33. (5 pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ° 40 . Oblicz objętość tego ostrosłupa. Przykładowy arkusz egzaminacyjny z

Zadanie 34. (1 pkt) Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe A. 64 cm2 B. 32 cm2 C. 16 cm2 D. 8 cm2

Zadanie 35. (1 pkt) Ciąg ( ) n a jest określony wzorem ( ) ( ) 2 3 9 dla 1. n n a n n ⋅ ≥ Wynika stąd, że A. 3 81 a = - B. 3 27 a = - C. 3 0 a = D. 3 0 a >

Zadanie 36. (1 pkt) Liczby ,1 x 4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa A. 3 B. 1 C. 1 D. 7

Zadanie 37. (1 pkt) Liczby 8 , 4 i 1 x (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa A. 3 B. 5,1 C. 1 D. 15

Zadanie 38. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest A. 25 B. 24 C. 21 D. 20

Zadanie 39. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest A. 16 B. 20 C. 25 D. 30

Zadanie 40. (1 pkt) Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa A. 25 B. 20 C. 15 D. 12

Zadanie 41. (1 pkt) Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5

Zadanie 42. (1 pkt) Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa wartość 0 1 2 3 liczebność 5 2 1 1 A. 0 B. 0,5 C. 1 D. 5 82

Zadanie 43. (1 pkt) Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa A. 1 B. 1,2 C. 1,5 D. 1,8

Zadanie 44. (1 pkt) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy A. 0,25 p < B. 0,25 p = C. 1 3 p = D. 1 3 p >

Zadanie 45. (1 pkt) O zdarzeniach losowych A i B są zawartych w Ω wiadomo, że ⊂ B A , ( ) 0,7 P A i ( ) 0,3 P B . Wtedy A. ( ) 1 P A B ∪ B. ( ) 0,7 P A B ∪ C. ( ) 0,4 P A B ∪ D. ( ) 0,3 P A B ∪

Zadanie 46. (1 pkt) Przekątna sześcianu ma długość 3. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 54 B. 36 C. 18 D. 12

Zadanie 47. (1 pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 24 cm2. Objętość tego sześcianu jest równa A. 8 cm3 B. 16 cm3 C. 27 cm3 D. 64 cm3 3 częstość w % 0 1 2 3 10 wartość 20 30 40 0 83

Zadanie 48. (1 pkt) Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 2 × 3 × 5 ma długość A. 13 B. 29 C. 34 D. 38

Zadanie 49. (1 pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa A. π 18 B. π 54 C. π 108 D. π 216

Zadanie 50. (1 pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 6. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe A. π 12 B. π 18 C. π 27 D. π 36 2 3 5 6 6 84 ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

Zadanie 51. (2 pkt) Rozwiąż równanie 2 3 1 1 2 2 x x

Zadanie 52. (2 pkt) Rozwiąż układ równań 3 5 2 3 x y x y ⎧ ⎨ ⎩

Zadanie 53. (2 pkt) Rozwiąż nierówność 0 7 6 2 ≤ + x x

Zadanie 54. (2 pkt) Rozwiąż równanie 0 3 6 2 2 3 x x x

Zadanie 55. (2 pkt) O funkcji liniowej f wiadomo, że (1) 2 f oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt ( ) 3 ,2 P . Wyznacz wzór funkcji f.

Zadanie 56. (2 pkt) Oblicz miejsca zerowe funkcji 2 1 dla 0 ( ) 2 dla 0 x x f x x x ≤ ⎧ = ⎨ > ⎩

Zadanie 57. (2 pkt) Naszkicuj wykres funkcji 2 1 dla 0 ( ) 2 dla 0 x x f x x x ≤ ⎧ = ⎨ > ⎩

Zadanie 58. (2 pkt) Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej 2 ( ) 6 1 f x x x + w przedziale 1,0

Zadanie 59. (2 pkt) Wielomiany ( ) ( ) 2 b x ax x W i ( ) x x x x V 2 3 2 są równe. Oblicz i . a b

Zadanie 60. (2 pkt) Wyrażenie 3 3 1 x x x + zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Zadanie 61. (2 pkt) Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2 11 0 x y i przechodzącej przez punkt (1,2). P =

Zadanie 62. (2 pkt) Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt ( ) 5 ,3 - S 85

Zadanie 63. (2 pkt) Wyznacz równanie okręgu o środku ( ) 5 ,3 - S przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Zadanie 64. (2 pkt) Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty: ( )1 ,2 - A , ( )1,6 B , ( ) 10 ,7 C

Zadanie 65. (2 pkt) W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę . α Oblicz sin cos . α α ⋅

Zadanie 66. (2 pkt) Kąt α jest ostry i 1 sin 4 α = Oblicz 2 3 2tg α

Zadanie 67. (2 pkt) Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym BC AC = . Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że CD AD AB (patrz rysunek). Oblicz miary kątów trój

Zadanie 68. (2 pkt) Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym 24 AB i 13 = BC AC

Zadanie 69. (2 pkt) Liczby 4, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.

Zadanie 70. (2 pkt) Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.

Zadanie 71. (2 pkt) Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c.

Zadanie 72. (2 pkt) Liczby 1 x , x, 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x. A B C D 86

Zadanie 73. (2 pkt) Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.

Zadanie 74. (2 pkt) Ile wyrazów ujemnych ma ciąg ( ) n a określony wzorem 24 2 2 n n an dla 1 ≥ n ?

Zadanie 75. (2 pkt) Liczby 2, 3 x , 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 76. (2 pkt) Wyrazami ciągu arytmetycznego ( ) n a są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto 3 12. a = Oblicz 15 a .

Zadanie 77. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste? Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.

Zadanie 78. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?

Zadanie 79. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności?

Zadanie 80. (2 pkt) Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty (patrz rysunek). Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów ?

Zadanie 81. (2 pkt) Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x. 87

Zadanie 82. (2 pkt) Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości

Zadanie 83. (2 pkt) Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.

Zadanie 84. (2 pkt) Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności wartość 0 1 2 3 liczebność 4 3 1 1

Zadanie 85. (2 pkt) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.

Zadanie 86. (2 pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.

Zadanie 87. (2 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5.

Zadanie 88. (2 pkt) A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że A B ⊂ oraz ( ) 3,0 A P i ( ) 4,0 B P Oblicz ( ). P A B ∪

Zadanie 89. (2 pkt) A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że A B ⊂ oraz ( ) 3,0 A P i ( ) 7,0 B P Oblicz prawdopodobieństwo różnicy A B \ częstość w % 0 1 2 3 10 wartość 15 30 45 0 88

Zadanie 90. (2 pkt) Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Zadanie 91. (2 pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Zadanie 92. (2 pkt) Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. 9 12 8 89

Zadanie 93. (2 pkt) Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że DR BP =

Zadanie 94. (2 pkt) Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by ) ) CAD ABC . Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że CE AC = A B C D P Q R A B C D E 90 ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

Zadanie 95. Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru {0, 1, 2, 3}.

Zadanie 96. Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w p

Zadanie 97. Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzyst

Zadanie 98. Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni ucze

Zadanie 99. Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.