Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)

Zadanie 11. (4 pkt) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji , określonej wzorem: , w przedziale R R f → : ( ) ( x x x f ⋅ 5 1 ) ( 7 ;0 Odpowiedź:

Zadanie 12. (4 pkt) Dane jest równanie postaci , w którym niewiadomą jest a x x a ⋅ 1 2 x Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru a Odpowiedź: Arkusz II 3

Zadanie 13. (4 pkt) Wyznacz te wartości parametrów oraz b , przy których funkcja , określona wzorem a R R g → :        2 2 2 ) ( 2 x dla b x dla x a x x g ≠ jest ciągła w punkcie 2 x Odpowiedź:

Zadanie 14. (5 pkt) Suma początkowych, kolejnych wyrazów ciągu , jest obliczana według wzoru , ( . Wyznacz . Wykaż, że ciąg ( jest ciągiem arytmetycznym. n 2 + ( n a ) n a ) n n Sn 3 ) ∈N n n a Odpowiedź: 4 Arkusz II

Zadanie 15. (5 pkt) Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy. Odpowiedź: Arkusz II 5

Zadanie 17. (5 pkt) W układzie współrzędnych są dane punkty: oraz . Wyznacz współrzędne punktu C leżącego na osi tak że kąt jest kątem prostym. ) 2 ,9 ( A ACB ) 2 ,4 ( B , , OY Odpowiedź:

Zadanie 18. (4 pkt) Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz. Odpowiedź: 6 Arkusz II

Zadanie 19. (5 pkt) Trapez równoramienny, o obwodzie równym , jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość cm 20 cm 41 , oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Arkusz II 7

Zadanie 20. (10 pkt) Funkcja h jest określona wzorem . Wyznacz wszystkie wartości parametru dla których równanie ma dwa różne pierwiastki. ) 5 ( log ) 4 ( log ) ( 2 2 2 x x x h 0 log ) ( 2 k x h ,k 8 Arkusz II Odpowiedź:

Zadanie 21. (10 pkt) Na kuli o promieniu opisujemy stożki o promieniu i wysokości . Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość. cm 4 R r H Oblicz promień i wysokość z