Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)

Zadanie 1. (5 pkt) Funkcja homograficzna f jest określona wzorem p x px x f 3 ) ( , gdzie R p∈ jest parametrem i 3 p ≠ a) Dla 1 p zapisz wzór funkcji w postaci 1 ) ( x m k x f , gdzie k oraz m są liczbami rzeczywistymi.

Zadanie 2. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości R k ∈ , dla których pierwiastki wielomianu ( ) ( ) ( ) k x x x x W ⋅ 12 8 2 są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. 4 Próbny egzamin maturalny z matematy

Zadanie 3. (4 pkt) Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej f . Rozwiąż równanie ( ) ( ) 0 16 2 x f Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 5 6 Próbny egzamin maturalny z matematyki

Zadanie 4. (7 pkt) Trójkąt prostokątny ABC , w którym 90 BCA = D ) i 30 CAB = D ) , jest opisany na okręgu o promieniu 3 . Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wy

Zadanie 5. (3 pkt) Sporządź wykres funkcji f danej wzorem 2 ( ) 2 f x x x , a następnie, korzystając z niego, podaj wszystkie wartości x, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne i wszystkie wartości x, dla któryc

Zadanie 6. (4 pkt) Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchołek D jest punktem przecięcia paraboli o równaniu 6 3 1 2 x x y z osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli (patrz rysu

Zadanie 7. (3 pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania x x cos cos 2 2 należące do przedziału 0,2π . 10 Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Zadanie 8. (4 pkt) Uczeń analizował własności funkcji f, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną ( ) f x ′ dla każdego x R ∈ . Wyniki tej analizy zapisał w tabeli. Niestety, wpisują

Zadanie 9. (3 pkt) Niech Ω ⊂ A i Ω ⊂ B będą zdarzeniami losowymi. Mając dane prawdopodobieństwa zdarzeń: ( ) 5,0 A P , ( ) 0,4 P B = i ( ) 0,3 P A B = , zbadaj, czy A i B są zdarzeniami niezależnymi. 12 Próbny egzamin ma

Zadanie 10. (5 pkt) Ciąg liczbowy ( ) na jest określony dla każdej liczby naturalnej 1 n ≥ wzorem ( )( ) 2 3 2 na n p , gdzie R p∈ a) Wykaż, że dla każdej wartości p ciąg ( ) na jest arytmetyczny. b) Dla 2 p oblicz sumę

Zadanie 11. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej 1 > n największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność 0 2 3 2 2 < n nx x o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f. 14 Próbny egzamin maturalny z

Zadanie 12. (4 pkt) Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek). B A Próbny egzamin maturaln