Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)

Zadanie 12. (5 pkt) Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 1 ≥ n prawdziwy jest wzór: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 (1!) 2 4 2! 2 ! 1 ! 1 n n n n ⎡ ⎤ ⋅⋅ + ⋅⋅ +⋅⋅⋅+ ⎣ ⎦ Nr czynnośc

Zadanie 13. (5 pkt) Dany jest ciąg ( ) n a , gdzie 5 6 10( 1) n n a n dla każdej liczby naturalnej 1 ≥ n a) Zbadaj monotoniczność ciągu ( ) n a b) Oblicz n n a ∞ → lim c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b

Zadanie 14. (4 pkt) a) Naszkicuj wykres funkcji x y 2 sin w przedziale > < π π 2, 2 b) Naszkicuj wykres funkcji x x y 2 sin 2 sin w przedziale > < π π 2, 2 i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nie

Zadanie 15. (4 pkt) Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy a

Zadanie 16. (3 pkt) Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odległość

Zadanie 17. (6 pkt) Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że 2 5 CS SB = a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu. b) Obl

Zadanie 18. (7 pkt) Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej 2 m3 istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa. Nr

Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalnej 1 ≥ n . Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyzn

Zadanie 20. (4 pkt) Dane są funkcje 2 5 ( ) 3x x f x i 2 2 3 2 1 ( ) 9 x x g x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Oblicz, dla których argumentów x wartości funkcji f są większe od wartości funkcji .g Nr czynności 20.1. 20.2. 20.3. 20.4. Maks

Zadanie 21. (5 pkt) W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja f ma następujące własności: - jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, - f jest funkcją nieparzystą, - f jest funkcj