Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)

Zadanie 1. (5 pkt) Udowodnij, Ŝe suma sześcianów trzech kolejnych licz naturalnych jest podzielna przez 9. Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom rozszerzony 3

Zadanie 2. (4 pkt) Dla kaŜdego ∈N n wyrazy ciągu ( ) n a spełniają dwa warunki 1 17 3 2 2 1 n n n a a n n i 1 19 6 2 1 n n a a n n . Oblicz, które wyrazy tego ciągu są dodatnie. Odpowiedź: Okręgowa Komisja Egzaminacyjna

Zadanie 3. (6 pkt) Liczbę 255 przedstaw w postaci czterech całkowitych składników tworzących rosnący ciąg geometryczny wiedząc, Ŝe trzeci wyraz tego ciągu jest o 45 większy od wyrazu pierwszego. Okręgowa Komisja Egzamina

Zadanie 4. (4 pkt) RóŜnymi pierwiastkami równania kwadratowego ( ) 0 1 2 2 2 x x m są liczby 1x oraz 2x . Narysuj wykres funkcji ( ) 2 1 2 1 x x x x m f ⋅ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z

Zadanie 5. (4 pkt) WykaŜ, Ŝe w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie. Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Materia

Zadanie 6. (4 pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego krótsza przekątna ma długość c , a kąt ostry miarę 2α . Pole przekroju wyznaczonego przez krawędź boczną graniastosłupa i dłuŜszą przekątną podstawy

Zadanie 7. (5 pkt) W czworokącie ABCD przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych ) 7,3 (- P w taki sposób, Ŝe 3 : 1 : : BP PD AP PC . Wiedząc, Ŝe [ ] 6,4 → AC i [ ] 2 , 10 - → BD , oblicz współrzędne wierzchołków

Zadanie 8. (5 pkt) WykaŜ, Ŝe cosinus kąta przecięcia się wykresów funkcji ( ) 1 3 4 x x f i 9 2 ) ( x x g jest równy 15 3 3 6 4 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom rozszerzo

Zadanie 9. (4 pkt) Oblicz wartość funkcji ( ) 3 2 1 x x f dla argumentu         ⋅ 7 log 1 2 12 12 12 2 12 13 3 49 18 log 18 log 64 log 8 log log x Odpowiedź: Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Materiał ćwi

Zadanie 10. (4 pkt) Posługując się wykresem funkcji ( ) x x f 2 cos dla   - ∈ 2 3 , π π x , rozwiąŜ nierówność α sin 2 cos < x wiedząc, Ŝe miara kąta α jest równa mierze łukowej kąta środkowego okręgu opartego na 12

Zadanie 11. (5 pkt) Liczba uczniów w klasie jest 812 razy mniejsza od liczby utworzonych z nich uporządkowanych trójek. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trzech osób, które są zapisane w dzienniku pod numerami pierws