Matematyka · Matura · maj 2012 (rozszerzona)

Zadanie 1. (4 pkt) Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb. Poziom rozszerzony 3 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba

Zadanie 2. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 4 2 2 x x x   Odpowiedź: Poziom rozszerzony 5 Rozwiąż nierówność x^4+x^2 >= 2x.

Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszerzony 6 Rozwiąż równanie cos 2x + 2 = 3 * cos x

Zadanie 4. (6 pkt) Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie   2 2 4 0 x m x m      ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste 1x , 2x takie, że 4 4 3 2 1 2 4 6 32 12      x x m m m Poziom rozszer

Zadanie 5. (6 pkt) Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ci

Zadanie 6. (6 pkt) W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: 1 5 , 2 2 P m m         , gdzie 1,7 m . Oblicz najmniejszą i największą wartość 2 PQ , gdzie 55 ,0 2       Q Poziom rozsze

Zadanie 7. (3 pkt) Udowodnij, że jeżeli 0 a b   , to prawdziwa jest nierówność 3 3 2 2 a b a b ab    Poziom rozszerzony 13 Udowodnij, że jeżeli a+b >= 0, to prawdziwa jest nierówność a^3+b^3 >= a^2b+ab^2.

Zadanie 8. (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12. Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 7. 8. Maks. liczba pkt 3 4 Uzyskana liczba

Zadanie 9. (5 pkt) Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB a  , BC b  i a b  . Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b. Poziom rozszerzony 15 Odpowiedź:

Zadanie 10. (5 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz 8 210 AS  , 118 BS  , 131 CS  . Oblicz objętość tego ostrosłupa. Poziom rozszerzony 17 Odpowiedź:

Zadanie 11. (3 pkt) Zdarzenia losowe A, B są zawarte w  oraz   0,7    P A B ( A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A ,  B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Wykaż, że   0,3 P A B   Wypełnia e