Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)

Zadanie 1. (0-1) Dla dowolnych liczb 0 x > , 1 x ≠, 0 y > , 1 y ≠ wartość wyrażenia ( ) ( ) 1 1 log log y x y x ⋅ jest równa A. x y ⋅ B. y x ⋅ 1 C. 1 D. 1 Dla dowolnych liczb x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 wartość wyrażenia

Zadanie 2. (0-1) Liczba 2 2 cos 105 sin 105 °- ° jest równa A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 Liczba cos^2 105° - sin^2 105° jest równa A.-√3/2}; B. -1/2; C. 1/2; D. √3/2.

Zadanie 3. (0-1) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji ) (x f y = , który jest złożony z dwóch półprostych AD i CE oraz dwóch odcinków AB i BC, gdzie ( ) 1, 0 A = - , ( ) 1, 2 B = , ( ) 3, 0 , C = ( ) 4, 3 D

Zadanie 4. (0-1) Zdarzenia losowe A i B zawarte w Ω są takie, że prawdopodobieństwo ( ) P B′ zdarzenia , B′ przeciwnego do zdarzenia B, jest równe 1 4 . Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe ( ) 1 5 P A B = . Wynika stąd,

Zadanie 5. (0-2) Oblicz granicę 3 2 2 3 2 2 9 11 lim 7 5 3 1 3 1 n n n n n n n n →∞       Wpisz w poniższe kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 6. (0-3) Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7 , 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb. Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr z

Zadanie 7. (0-2) Punkt (10, 2429) P = leży na paraboli o równaniu 2 2 2219 y x x . Prosta o równaniu kierunkowym jest styczna do tej paraboli w punkcie P. Oblicz współczynnik b. Odpowiedź: y ax b MMA_1R Punkt P=(10,2429)

Zadanie 8. (0-3) Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że , x y < i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a, prawdziwa jest nierówność 2 x a y y a x > Wypełnia egzaminator Nr zadania 7.

Zadanie 9. (0-3) Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym | AC BC . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M ( M A ≠ i M C ≠ ), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że AM CN . Przez punkty M i N pop

Zadanie 10. (0-4) Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz 16 AC = , 6 AD = , 14 CD = i BC BD Oblicz obwód trójkąta ABC. MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 10. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1

Zadanie 11. (0-6) Dane są okręgi o równaniach 2 2 12 8 43 0 x y x y i 2 2 2 2 4 77 0 x y ax y a Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki

Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego. MMA_1R Odpowiedź: Wype

Zadanie 13. (0-6) Wielomian określony wzorem ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 11 2 2 1 W x x m x x m jest podzielny przez dwumian ( ) 2 x - oraz przy dzieleniu przez dwumian ( ) 1 x + daje resztę 6. Oblicz m i dla wyznaczonej warto

Zadanie 14. (0-4) Rozwiąż równanie ( ) π π 1 cos sin sin sin 3 3 2 x x x x                   MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 14. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1R Rozwiąż r

Zadanie 15. (0-7) Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 2. V = Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to na