Matematyka · Zbiory zadań · 2003 (rozszerzona)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji, określonej wzorem f(x)=(x-1)/(5-x), w przedziale <0,7>.

Dane jest równanie postaci a^2 * x - 1 = x+a, w którym niewiadomą jest x. Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru a.

Wyznacz te wartości parametru a oraz b, przy których funkcja określona wzorem jest ciągła w punkcie x=2

Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (a_n), jest obliczana według wzoru S_n=n^2+3n. Wyznacz a_n. Wykaż, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że ,,jedynka'' wypadnie co najmniej cztery razy.

W układzie współrzędnych są dane punkty: A(-9,-2) oraz B(4,2). Wyznacz współrzędne punktu C, leżącego na osi OY, tak że kąt ACB jest kątem prostym.

Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.

Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość 41 cm, oblicz pole tego trapezu.

Funkcja h jest określona wzorem h(x)=\log_2(x^2-4)-\log_2(x-5). Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie h(x)-\log_2 k=0 ma dwa różne pierwiastki.

Na kuli o promieniu R=4 cm opisujemy stożki o promieniu r i wysokości H. Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość. Oblicz promień i wysokość znalezionego stożka.