Matematyka · Zbiory zadań · 2005 (rozszerzona)

Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których funkcja f(x)=x^2-2^k * x+2^k + 5/4 przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x rzeczywistego. Rówanie kwadratowe z parametrem.

Powyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej W(x) stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby (-2) oraz 1, a pochodna W'(-2)=18. a) Wyznacz wzór wielomianu W(x).

Sporządź wykres funkcji f(x)={x-4/ x-2}, a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie | {x-4 / x-2} |=k, ma dwa rozwiązania, których iloczyn jest liczbą ujemną.

Niech A, B należą do Omega będą zdarzeniami losowymi, takimi że P(A)=5/12 oraz P(B)=7/11. Zbadaj, czy zdarzenia A i B są rozłączne.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci: 2, 2/(p-1), 2/(p-1)^2, 2/(p-1)^3,... Wyznacz wszystkie wartości p, dla których granicą ciągu jest liczba a) 0 b) 2.

Dane jest równanie postaci (cos x -1) * (cos x + p +1)=0, gdzie p rzeczywiste jest parametrem. a) Dla p=-1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału <0;5>. b) Wyznacz wszystkie wartości parametru

W trójkącie prostokątnym ABC kąt BCA=90stopni dane są długości przyprostokątnych: |BC|=a i |CA|=b. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D. Wykaż, że długość odcinka CD jest równ

Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R=5pierwiastkow2, wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest r

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna n>=5 spełnia nierówność 2^n > n^2 + n - 1.