Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność pierwiastek z {2^{50}+1} + pierwiastek z {2^{50}-1} < 2^{26}.

Udowodnij, że jeśli a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x^2+y^2 >= 2xy, b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z=1, to x^2+y^2+z^2 >= 1/3

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a-2b) + 2b^2 > 0

Funkcja kwadratowa f(x) = x²+bx+c nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że 1+c>b.

Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a+b) + b² > 3ab.

Dana jest liczba a = 1/1+√2 + 1/√2+√3 + 1/√3+√4. Wykaż, że a jest liczbą całkowitą. Wskazówka. Usuń niewymierności z mianowników.