Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, |SA|/|SD| = |SB|/|SC|.

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB jest równoległy do CD. Udowodnij, że miara kąta AED jest równa sumie miar kątów BAE i CDE.

Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że |AM|^2 + |CM|^2 = |BM|^2 + |DM|^2.

Czworokąt ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że |BP|=|DR|.

Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by |kąt CAD| = |kąt ABC|. Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że |AC|=|CE|.

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD|=|CD| oraz |AB|=|BD| (patrz rysunek). Udowodnij, że |kąt ADC| =

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współli

Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM|=|CN|. Wykaż, że |BM|=|MN|.

W trapezie ABCD (AB||CD) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że |AO|:|OC|=5:1. Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72.

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE| = 3/4 |CD|. Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek). Wykaż, że |CF| = 9/16 |CB|.

Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości a i b. Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zoba

Rozwiązanie zadania. Dwa okręgi o promieniach r=2 i R=6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej k. Wykaż, że prosta l przechodząca przez środki S i P tych okręgów przecina prostą k pod kątem α=30° (zobacz

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie. Rozważmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku A. Niech każdy z boków tego trójką

W trójkącie równobocznym o boku długości a poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe b i c, przy czym c<b<a (zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na t

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyz