Matematyka · Zbiory zadań

Obliczam wyrażenie z pierwiastkami korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Miary dwóch kątów trójkąta wynoszą pi/6 i pi/5. Oblicz miarę trzeciego kąta. Odpowiedź podaj w stopniach.

Dane jest równanie sin x = a^2+1, z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których dane równanie nie ma rozwiązań. Zadanie z informatora maturalnego.

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = { x+5 dla x<-5; -x+2 dla -5<=x<5; x-6 dla x<=5 }. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby a) -5,2,6 b) 2,6 c) -5,2 d) -5,-2,6

W kolejce do kasy biletowej ustawiły się cztery dziewczynki i pięciu chłopców. Liczba wszystkich możliwych ustawień osób w tej kolejce wynosi a) 4!+5!, b) 9!, c) 4\c5, d) 4!\c5!.

Rozwiąż równanie \log_5(\log_4(\log_2 x))=0.

Funkcja f jest określona wzorem f(x)={1 / x+1}-1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x\not=1. Rozwiąż nierówność f(x)>f(2-x).

Narysuj wykres funkcji f określonej w przedziale <-2,2> wzorem f(x)=2^x-1.

Narysuj wykres funkcji f określonej w przedziale <-2,2> wzorem f(x)=2^{x-1}.

Pole wycinka koła o promieniu 3 cm jest równe 2 cm^2. Oblicz miarę łukową kąta środkowego tego wycinka.

Punkty A=(1,1), B=(5,5), C=(3,5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD niebędącego równoległobokiem, w którym AB||CD. a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu. b) Oblicz pole tego trapezu.

Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o wszystkich wierzchołkach w tych punktach można narysować?

Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu x^{17}-mx^{15}+(m-2)x^{10}+2x+m^2-2 przez dwumian x-1 jest równa 3?

Wyznacz równanie okręgu o środku A=(2,3), stycznego do prostej o równaniu x-2y+1=0.

Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniają równość |x-1|+|x-3|=2. Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 4 i 6 jest nie większa niż 4. Zaznacz na os

Przedział (-{3/2},0) jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 2/x < m z niewiadomą x. Oblicz m.

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki zawarte są w osiach Ox i Oy układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które

Miary pięciu kątów tworzą ciąg arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciągu jest 150 stopni, a czwartym 270 stopni. Oblicz sumę sinusów tych pięciu kątów.

Dane jest równanie x^2+(3m-2)x=-m-2 z niewiadomą x. Sformułuj warunki, jakie powinien spełniać parametr m, by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia.

Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21 oraz suma ich odwrotności jest równa 7/12.

Z szuflady, w której znajduje się 10 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery rękawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A wśród wylosowanych rękawiczek

Wyznacz wartości parametru p, dla których równanie |x-2|+|x+3|=p ma dokładnie dwa rozwiązania.

Wykaż, że dla a w (2,3) zachodzi równość pierwiastek z {a^2-6a+9} / 3-a + pierwiastek z {a^2-4a+4} / a-2 = 2.

Dane jest równanie x^2+bx+c=0 z niewiadomą x. Wyznacz wartości b oraz c tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Dane są funkcje liniowe g i h określone wzorami: g(x)=ax+b i h(x)=bx+a. Wiadomo, że funkcja g jest rosnąca, a funkcja h malejąca. a) Wyznacz pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji b) Oblicz liczby a

Dany jest ciąg (a_n) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa {1/2}(7n^2-n). Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Wykaż, że (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Proste zawierające ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinają się w punkcie S. Dane są: |AB|=6, |CD|=2 oraz obwód trójkąta SCD równy pierwiestek z 18. Oblicz obwód trójkąta SAB.

W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary alfa oraz 90+alfa Jedno z ramion tego trapezu ma długość t. Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Dane są |BC|=a, |CD|=b, |kąt DAB|=alfa. Wyznacz długość przekątnej BD.

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM.

Ze zbioru {1,2,...,2n+5} wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że: a) ich różnica będzie liczbą parzystą, b) suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną

Narysuj przekrój równoległościanu płaszczyzną PQR

Wiedząc, że dla pewnego ciągu geometrycznego (a_n) o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równość S_{14}=5*S_7, oblicz iloraz tego ciągu. Symbol S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Wielomian f jest określony wzorem f(x)=ax^4-9x^3+3x^2+7x+b dla pewnych liczb pierwszych a i b. Wiadomo, że liczba 3/2 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz a i b.

Dane jest równanie x^2+mx+m-1=0 z niewiadomą x. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej m wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi.

Wielomiany W(x)=ax(x+b)^2 i V(x)=x^3+2x^2+x są równe. Oblicz a i b.

Wyrażenie {3 / x-3} - {x / x+1} zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.