Matematyka · Zbiory zadań · 2013 (rozszerzona)

Rozwiąż nierówność: pierwiastek z (x^2+4x+4) \xge 11 - pierwiastek z (x^2-6x+9)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m+1)x^2 - 3mx + m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż 2,5.

Rozwiąż równanie 2 * tg x * cos x + 1 = 2 * cos x + tg x w przedziale <0, 2pi>.

Wykaż, że prawdziwa jest równość pierwiastek 3 stopnia z (9 + pierwiastek z 80) + pierwiastek 3 z (9 - pierwiastek z 80) = 3.

Uzasadnij, że jeżeli 2a + b >= 0, to 2a^3 + b^3 >= 3a^2b.

W równoległoboku ABCD miara kąta ostrego jest równa 30 stopni, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe 2 i pierwiastek z 3. Oblicz długość krótszej przekątnej tego równo

Punkty A=(2,0) i B=(4,2) leżą na okręgu o równaniu (x-1)^2 + (y-3)^2 = 10. Wyznacz na tym okręgu taki punkt C, aby trójkąt ABC był trójkątem równoramiennym o podstawie AB.

Wykaż, że dla dowolnego kąta α prawdziwa jest tożsamość sin^4 α + cos^4 α = 1 + cos^2 2α / 2.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt ABC. Kąt nachylenia krawędzi bocznej AS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi AS i BS zawartymi w ścianie bocznej

Liczby a_1, a_2, ... , a_n są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że prawdziwa jest równość pierwiastek n stopnia z {a_1 * a_2 * ... * a_n} = pierwiastek z {a_1\c a_n}.

Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę 120 stopni. Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.

Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby 1, 3, 5. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy 1/2. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu