Matematyka · Zbiory zadań · 2013 (rozszerzona)

Liczba 2 jest jednym z pierwiastków wielomianu W(x)=x^4+x^3+ax^2+x+b. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x+1 jest równa -12. Oblicz a i b oraz wyznacz pozostałe pierwiastki rzeczywiste wielomianu W(x).

Rozwiąż równanie cos x + cos2x = 0 dla x w <-pi,pi>.

Ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla n>=1 jest malejący i a_1=6. Siódmy, dziesiąty i szesnasty wyraz tego ciągu w podanej kolejności są równe trzem początkowym wyrazom ciągu geometrycznego (b_n), określonego dla n >= 1

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2 - (m-4)x + m^2-7m+12 = 0 ma dwa różne pierwiastki x_1, x_2 spełniające warunek (x_1+x_2)(x_1+x_2-1)=x_1^2+x_2^2.

Dane są dwa okręgi o promieniach R i r, styczne zewnętrznie i styczne do tej samej prostej l w punktach A i B (tak jak na rysunku). Udowodnij, że |AB| = 2*pierwiastek(R*r).

Ze zbioru {1, 2, 3, ..., 341} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb będzie podzielny przez 11 i 31.

Punkty A=(1,3) i D=(2,1) są wierzchołkami trapezu ABCD o podstawach AB i CD. Wierzchołki B i C leżą na osi Ox, a ramię BC tego trapezu ma długość 2. Wyznacz równania prostych AB i CD.

Wykres funkcji logarytmicznej f(x) = log_p x, którego fragment przedstawiony jest na rysunku, przechodzi przez punkt A = (9/4, 2). a) Oblicz wartość p. b) Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = |f(x+2)|-3. c)

Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie jedna cyfra 9 oraz dokładnie dwie cyfry 0.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość a. Punkt P jest środkiem wysokości SO ostrosłupa. Odcinki AP i BP są prostopadłe. Oblicz pole powierzchni całkowi

Udowodnij, że jeżeli ciąg (a_n) określony dla n>=1 jest geometryczny, to dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich n takich, że n>=11 prawdziwa jest równość (a_{n+1})^2 = a_{n-10} * a_{n+12}.