Matematyka · Zbiory zadań · 2014 (rozszerzona)

Rozwiąż nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi |x+6| - 2|x-4| <= 2x-3.

W czworokąt ABCD, w którym |AD| = 5*pierwiastków z 3 i |CD| = 6, można wpisać okrąg. Przekątna BD tworzy z bokiem AB czworokąta kąt o mierze 60, natomiast z bokiem AD tworzy kąt, którego sinus jest równy 3/4. Wyznacz dłu

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność x(x-1) + y(y-1) >= xy - 1.

Rozwiąż nierówność -2*sin3x >= 1 w przedziale <0,2pi>.

Na przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BFGC. Odcinek AF przecina przyprostokątną BC w punkcie L, a odcinek BE przecina przyprostokątną AC w punkcie K (zob

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2+(2m-5)x+2m+3=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1, x_2 takie, że (x_1+x_2)^2 >= x_1^2*x_2^2 >= x_1^2+x_2^2.

Odcinek AB o długości 4 jest zawarty w prostej o równaniu y=3/4x-3/2. Symetralna odcinka AB przecina oś Oy w punkcie P=(0,6). Oblicz współrzędne końców odcinka AB.

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyr

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 6x^3+(m+4)x^2-2x-1 przez dwumian x-m jest równa 8. Oblicz wartość m oraz pierwiastki tego wielomianu.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 25. Ściany boczne ABS i BCS mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne ADS i CDS też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne AS i CS mają r

W urnie jest dziesięć kul: 4 białe, 3 czarne, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród wylosowanych kul nie ma kul w tym samym kol