Matematyka · Zbiory zadań · 2014 (rozszerzona)

Wielomian W(x) = 2x^3-bx^2-1 jest podzielny przez dwumian x+1. Wynika stąd, że A. b=-3, B. b=-1, C. b=1, D. b=3.

Okrąg o równaniu (x+2)^2+(y-2)^2=4 ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu A. x=0, B. y=0, C. y=-x, D. y=x.

Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = x^5+5x-1 A. ma więcej niż dwa minima lokalne. B. ma dokładnie dwa minima lokalne. C. ma dokładnie jedno minimum lokalne. D. nie ma minimum lokalnego.

Każda liczba x należąca do przedziału otwartego (pi/2, 3pi/4) spełnia nierówność A. tg x > sin x, B. cos x > sin x, C. cos x > tg x, D. tg x > cos x.

Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem f(x) = 3^{x-2} + 3. Prosta l ma równanie y = 3,3. Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji f i prosta l? A. Zero. B. Jeden. C. Dwa. D. Nieskończenie wie

Dane są liczby a, b takie, że a-b=4 i ab=7. Oblicz a^3b+ab^3. Zakoduj w kratkach poniżej kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Oblicz granicę lim_{n dąży do nieskończoności} n^2 / n+2 - (n+2)^2 / n+444

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x^2 / x-4 dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 4. Oblicz pochodną funkcji f w punkcie x=12.

Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x^4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f, która jest równoległa do prostej y=4x+7.

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin 5x - sin x = 0.

Niech P_n oznacza pole koła o promieniu 1 / 2^n, dla n >= 1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (P_n).

Wykaż, że jeżeli a > b >= 1, to a / 2+a^3 < b / 2+b^3.

Wykaż, że jeżeli alfa, beta, gamma są kątami wewnętrznymi trójkąta i sin^2 alfa + \sin^2 beta < \sin^2\ gamma, to cos gamma < 0.

Punkt E jest środkiem boku BC prostokąta ABCD, w którym AB > BC. Punkt F leży na boku CD tego prostokąta oraz |kąt AEF| = 90 stopni. Udowodnij, że |kąt BAE| = |kąt EAF|.

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.

Dany jest okrąg o_0 o równaniu (x-3)^2+(y-1)^2=1. W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o_1, o_2 styczne zewnętrznie do okręgu o_0 i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to ok