Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)

Liczby dodatnie a i b spełniają równość a^2+2a=4b^2+4b. Wykaż, że a=2b.

Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 5x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x - 4 > 0.

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że obie są niepodzielne przez 3. Udowodnij, że liczba a^3+b³ jest podzielna przez 9.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x oraz dla każdej liczby rzeczywistej y, spełniających warunek x+y ≥ 1, prawdziwa jest nierówność x³ + 2xy + y³ ≥ x² + xy(x+y) + y^2.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 20x²-24mx+18m² ≥ 4x+12m-5.