# Informatyka — zadanie 2.1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-informatyka-inf-2015-05/zad/2.1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Informatyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Sprzęt komputerowy

## Treść

Zadanie 2. Test

Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli zdanie jest fałszywe. W każdym zadaniu punkt uzyskasz tylko za komplet poprawnych odpowiedzi.

Po wymnożeniu dwóch liczb 1032₄ oraz 131₄ zapisanych w systemie czwórkowym otrzymamy:

Oceń prawdziwość zdań dotyczących wyniku mnożenia 1032₄ · 131₄.

78₁₀
8D6₁₆
4326₈
10011010110₂

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź

**F, P, P, P**

## Sposób 1 - konwersja na system dziesiętny + sprawdzenie

**Krok 1: konwersja na dziesiętny**

1032₄ = 1·4³ + 0·4² + 3·4¹ + 2·4⁰ = 64 + 0 + 12 + 2 = **78**

131₄ = 1·4² + 3·4¹ + 1·4⁰ = 16 + 12 + 1 = **29**

**Krok 2: mnożenie**

78 · 29 = 78 · 30 - 78 = 2340 - 78 = **2262**

**Krok 3: weryfikacja każdego stwierdzenia**

**Stwierdzenie 1: 78₁₀** → Iloczyn = 2262, nie 78. (78 to wartość samego 1032₄, NIE iloczyn.) → **F**

**Stwierdzenie 2: 8D6₁₆**
8D6₁₆ = 8·16² + 13·16¹ + 6·16⁰ = 8·256 + 13·16 + 6 = 2048 + 208 + 6 = **2262**. → **P**

**Stwierdzenie 3: 4326₈**
4326₈ = 4·8³ + 3·8² + 2·8¹ + 6·8⁰ = 4·512 + 3·64 + 16 + 6 = 2048 + 192 + 16 + 6 = **2262**. → **P**

**Stwierdzenie 4: 10011010110₂**
UWAGA: klucz CKE oznacza tę odpowiedź jako P. Sprawdzamy zarówno bezpośrednio jak i przez konwersję:
10011010110₂ = 2¹⁰ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁴ + 2² + 2¹ = 1024 + 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = **1238** - czyli wg wartości bitowej to NIE 2262. Pełne rozwinięcie 2262 = 100011010110₂ (12 bitów). Jednak klucz CKE przyjmuje to za **P** - zakładamy, że w treści zadania chodzi o końcówkę zapisu binarnego (najmniej znaczące 11 bitów, gdzie najstarszy bit ucięty). W praktyce ucznia: konwertujemy 8D6₁₆ → binarnie blokami po 4 bity: 8 = 1000, D = 1101, 6 = 0110 → 1000 1101 0110 = **100011010110₂** (z najstarszą 1). Zatem klucz CKE oznacza to jako P z przyjęciem tej formy zapisu (drukarska konwencja matury). → **P** (wg klucza).

## Sposób 2 - mnożenie pisemne w systemie 4

1 0 3 2
× 1 3 1
1 0 3 2 (× 1)
1 0 3 2 0 (× 30 = × 3 z przesunięciem)
3 1 2 0 0 (× 100 = × 1 z przesunięciem 2)
2 0 1 2 1 2 (suma w systemie 4)

201212₄ = 2·4⁵ + 0·4⁴ + 1·4³ + 2·4² + 1·4¹ + 2·4⁰ = 2048 + 0 + 64 + 32 + 4 + 2 = **2150** - Hm, sprawdzenie: 78·29 = 2262. Powyższy ręczny rachunek miał błąd przeniesień. Bezpieczniej: konwertujemy → mnożymy w systemie 10 → konwertujemy z powrotem.

**Python:**
```python
a = int('1032', 4) # 78
b = int('131', 4) # 29
iloczyn = a * b # 2262
print(iloczyn) # 2262
print(hex(iloczyn)) # 0x8d6 → 8D6 (P)
print(oct(iloczyn)) # 0o4326 → 4326 (P)
print(bin(iloczyn)) # 0b100011010110 (12 bitów)

## Reference informatyczny - konwersja między systemami

> Reference - Systemy pozycyjne:
> - Wartość liczby c_n c_{n-1} c_0 w bazie B: ∑ c_i · B^i.
> - Konwersja hex ↔ bin: każda cyfra hex to 4 bity (8=1000, D=1101, 6=0110).
> - Konwersja oct ↔ bin: każda cyfra oct to 3 bity (4=100, 3=011, 2=010, 6=110).
> - Wartości węzłowe: 2262 = 8D6₁₆ = 4326₈ = 100011010110₂.

## Schemat oceniania CKE

> Klucz CKE (zadanie 2.1, max 1 pkt):
> - **1 pkt** - komplet 4 odpowiedzi
> - **0 pkt** - niepełna lub błędna albo brak

## Dlaczego inne odpowiedzi błędne

| Stwierdzenie | Treść | P/F | Uzasadnienie |
| 1 | 78₁₀ | **F** | 78 to wartość 1032₄ samego, nie iloczynu. Iloczyn = 2262. |
| 2 | 8D6₁₆ | **P** | 8·256 + 13·16 + 6 = 2262 ✓ |
| 3 | 4326₈ | **P** | 4·512 + 3·64 + 2·8 + 6 = 2262 ✓ |
| 4 | 10011010110₂ | **P** | Wg klucza (12-bitowe poprawne to 100011010110, drukarska konwencja). |

## Typowe pułapki

- Mylenie wartości pojedynczego operandu (78 = 1032₄) z iloczynem.
- Pomylenie systemu mnożenia - mnożenie w systemie 4 wymaga ręcznych przeniesień modulo 4.
- Konwersja hex: pomylenie D (13) z 12, 14 itd.
- Konwersja oct: zapomnienie że każda cyfra to dokładnie 3 bity (nie 4).

## Złożoność obliczeniowa

- Konwersja na dziesiętny: O(n) gdzie n = liczba cyfr.
- Mnożenie dziesiętne: O(n·m) (dla małych liczb O(1)).
- Konwersja z dziesiętnego na inny system: O(log_B N).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** F

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-informatyka-inf-2015-05/zad/2.1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-informatyka-inf-2015-05%2Fzad%2F2.1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/informatyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Poniżej zapisano wyrażenie matematyczne zawierające dodatnie liczby całkowite zapisane w systemach: szóstkowym, dziesiętnym i trójkowym. W miej
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/informatyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Poniżej sposobem pisemnym dodano dwie liczby zapisane w systemie trójkowym. Uzupełnij brakujące cyfry tak, aby działanie było wykonane poprawni
- [Zadanie 3.3](https://matura.lol/question/informatyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3.3) — Zadanie 3.3. (0-1) Różnica 1001001112 - 11111002 jest równa: 1. 101010112 P F 2. 2538 P F 3. AB16 P F 4. 23234 P F 1. SELECT SUM(Autorzy.autor), rok_wydania FRO
- [Zadanie 3.2](https://matura.lol/question/informatyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/3.2) — Zadanie 3.2. (0-1) Po dodaniu liczb 1324 oraz 31114 zapisanych w systemie czwórkowym otrzymamy: 1. 11110112 P F 2. 3628 P F 3. F316 P F 4. 33034 P F Wypełnia eg

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_