# Informatyka — zadanie 3.2 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-informatyka-inf-2019-05/zad/3.2 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Informatyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona) - rok: 2019 - poziom: rozszerzona - typ: closed - punkty: 1 - działy: Sprzęt komputerowy, dane i bazy ## Treść Po pomnożeniu dwóch liczb 1111110₂ oraz 101₂ zapisanych w systemie dwójkowym otrzymamy poniższe alternatywne zapisy. Oceń prawdziwość zdań dotyczących wyniku mnożenia liczb binarnych 1111110₂ × 101₂. Wynik to 21312₄. Wynik to 1001010110₂. Wynik to 1166₈. Wynik to 276₁₆. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź **P, F, P, P** ## Sposób 1 - obliczenie iloczynu i konwersje **Krok 1: zamień liczby binarne na dziesiętne.** `1111110₂` = 1·64 + 1·32 + 1·16 + 1·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 64+32+16+8+4+2 = **126** `101₂` = 1·4 + 0·2 + 1·1 = **5** **Krok 2: oblicz iloczyn dziesiętnie.** 126 · 5 = **630** **Krok 3: konwersja 630 na różne systemy.** ### Na system czwórkowy (Stwierdzenie 1: 21312₄?) 630 : 4 = 157 r 2 157 : 4 = 39 r 1 39 : 4 = 9 r 3 9 : 4 = 2 r 1 2 : 4 = 0 r 2 Czytane od dołu: **21312₄** ✓ **Weryfikacja:** 2·256 + 1·64 + 3·16 + 1·4 + 2 = 512 + 64 + 48 + 4 + 2 = 630 ✓ **Werdykt 1: PRAWDA** ✓ ### Na system binarny (Stwierdzenie 2: 1001010110₂?) 630 : 2 = 315 r 0 315 : 2 = 157 r 1 157 : 2 = 78 r 1 78 : 2 = 39 r 0 39 : 2 = 19 r 1 19 : 2 = 9 r 1 9 : 2 = 4 r 1 4 : 2 = 2 r 0 2 : 2 = 1 r 0 1 : 2 = 0 r 1 Czytane od dołu: **1001110110₂** W stwierdzeniu jest 1001010110₂, czyli ma 0 zamiast 1 na pozycji bitu 6 (= wartości 64). Sprawdzimy: 1001010110₂ = 512 + 64 + 16 + 4 + 2 = 598 ≠ 630. **Werdykt 2: FAŁSZ** ✗ ### Na system ósemkowy (Stwierdzenie 3: 1166₈?) 630 : 8 = 78 r 6 78 : 8 = 9 r 6 9 : 8 = 1 r 1 1 : 8 = 0 r 1 Czytane od dołu: **1166₈** ✓ **Weryfikacja:** 1·512 + 1·64 + 6·8 + 6·1 = 512 + 64 + 48 + 6 = 630 ✓ **Werdykt 3: PRAWDA** ✓ ### Na system szesnastkowy (Stwierdzenie 4: 276₁₆?) 630 : 16 = 39 r 6 39 : 16 = 2 r 7 2 : 16 = 0 r 2 Czytane od dołu: **276₁₆** ✓ **Weryfikacja:** 2·256 + 7·16 + 6 = 512 + 112 + 6 = 630 ✓ **Werdykt 4: PRAWDA** ✓ ## Sposób 2 - mnożenie binarne (bez konwersji na dziesiętny) 1111110 × 101 1111110 (× 1, bit 0) 0000000 (× 0, bit 1) - zerowy 1111110 (× 1, bit 2, przesunięcie o 2) 1001110110 Dodawanie binarne (z przeniesieniami): 0001111110 + 0000000000 + 0111111000 1001110110₂ To nasze prawdziwe binarne **1001110110₂**, NIE "1001010110" - różnica w bicie nr 6 (wartość 64). ## Sposób 3 - weryfikacja Pythonem ```python n = 0b1111110 * 0b101 print(n) # 630 print(bin(n)) # 0b1001110110 print(oct(n)) # 0o1166 print(hex(n)) # 0x276 print(int('21312', 4)) # 630 - czwórkowy ## Reference informatyczny - konwersje między systemami liczbowymi > Reference - Konwersje: > - **Bin → Dec:** suma bitów·potęg 2 od najmłodszego. > - **Dec → Bin:** dzielenie z resztą przez 2, czyt. od dołu. > - **Dec → Hex:** dzielenie z resztą przez 16. Cyfry 10=A, 11=B, , 15=F. > - **Dec → Oct:** dzielenie z resztą przez 8. > - **Bin → Hex:** grupuj po 4 bity od końca: 1001110110 → 0010|0111|0110 = 2|7|6 = 276₁₆. > - **Bin → Oct:** grupuj po 3 bity od końca: 1|001|110|110 = 1|1|6|6 = 1166₈. > - **Bin ↔ Czwórkowy:** grupuj po 2 bity: 10|01|11|01|10 = 2|1|3|1|2 = 21312₄. ## Schemat oceniania CKE > Klucz CKE (zadanie 3.2, max 1 pkt): > - **1 pkt** - wszystkie 4 odpowiedzi (P, F, P, P) > - **0 pkt** - błędna lub niepełna ## Dlaczego inne opcje błędne - analiza | Stw. | Wartość | Wynik 1·obliczenia | Werdykt | | 1 | 21312₄ | 21312₄ = 2·256+64+48+4+2 = 630 ✓ | P | | 2 | 1001010110₂ | = 512+64+16+4+2 = **598** ≠ 630 | F | | 3 | 1166₈ | = 512+64+48+6 = 630 ✓ | P | | 4 | 276₁₆ | = 512+112+6 = 630 ✓ | P | ## Typowe pułapki - **Mnożenie binarne ręczne** - łatwo zgubić bit. Bezpieczniej najpierw przeliczyć na dziesiętny. - **Mylenie liczby cyfr przy konwersji** - 630 to 10 cyfr binarnych, 4 cyfry czwórkowe, 4 cyfry oktalne, 3 cyfry hex. - **Konwersja binary↔hex grupowaniem** - grupuj od PRAWEJ strony po 4 bity (uzupełnij zerami z lewej jeśli trzeba). - **Sprawdzenie szybkim trickiem**: suma cyfr binarnych w 1001110110 = 6 jedynek, w 1001010110 = 5 jedynek - różne. ## Złożoność obliczeniowa - Konwersja liczby N z systemu o podstawie b: O(log_b N) - liczba cyfr. - Mnożenie binarne dwóch liczb o m i n bitach: O(m · n) algorytmem szkolnym. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-informatyka-inf-2019-05/zad/3.2) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-informatyka-inf-2019-05%2Fzad%2F3.2) ## Podobne zadania - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/informatyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-2) Wykonaj działania na liczbach zapisanych w systemach pozycyjnych o podstawach 5 i 6. Wynik dodawania liczb w systemie o podstawie 5 zapisz w ty - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/informatyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-2) Wykonaj działania na liczbach zapisanych w systemie piątkowym. Wyniki podaj także w systemie piątkowym. 20245 + 10445 = 20245 - 10445 = Miejsce - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/informatyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-2) Wykonaj działania na liczbach zapisanych w systemie trójkowym i systemie dziewiątkowym. Wyniki podaj w systemie trójkowym. 1011123 + 1219 = 101 - [Zadanie 3.2](https://matura.lol/question/maturazai-informatyka-einp-r12-100-2205/zad/3.2) — Kontekst zadania 3 (Test PF) - patrz zadanie 3.1. Po dodaniu liczb 132₄ oraz 3111₄ zapisanych w systemie czwórkowym otrzymamy: 1111011₂ 362₈ F3₁₆ 3303₄ _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_