# Matematyka — zadanie 1 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/1 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności ## Treść Zadanie 1. (0-1) Liczba 9 2 4 7 jest równa A. 4 B. 10 C. 10 D. 4 Liczba |9-2| - |4-7| jest równa A. 4, B. 10, C. -10, D. -4. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(\left(\dfrac{5}{2}\right)^8\) ## Sposób 1 - Przekształcenie potęgi ujemnej i uproszczenie **Od czego zaczynamy:** Mamy \(5^8 \cdot 16^{-2}\). Chcemy to uprościć, korzystając z własności potęg. **Krok 1:** Potęga ujemna - zamieniamy \(16^{-2}\) na ułamek: \[16^{-2} = \frac{1}{16^2} = \frac{1}{256}\] **Krok 2:** Rozpisujemy \(16\) jako potęgę dwójki: \[16 = 2^4\] Zatem: \[16^2 = (2^4)^2 = 2^8\] **Krok 3:** Podstawiamy: \[5^8 \cdot 16^{-2} = 5^8 \cdot \frac{1}{2^8} = \frac{5^8}{2^8}\] **Krok 4:** Korzystamy z własności \(\dfrac{a^r}{b^r} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^r\): \[\frac{5^8}{2^8} = \left(\frac{5}{2}\right)^8\] **Wynik: \(\left(\dfrac{5}{2}\right)^8\)** ✓ ## Sposób 2 - Przez sprowadzenie \(16^{-2}\) bezpośrednio **Krok 1:** Zapisujemy \(16 = 2^4\) od razu przy wykładniku ujemnym: \[16^{-2} = (2^4)^{-2} = 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{-8}\] **Krok 2:** Łączymy: \[5^8 \cdot 16^{-2} = 5^8 \cdot 2^{-8}\] **Krok 3:** Korzystamy z własności \(a^r \cdot b^r = (a \cdot b)^r\) - ale tutaj mamy \(2^{-8}\), czyli \(\left(\frac{1}{2}\right)^8\): \[5^8 \cdot 2^{-8} = 5^8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \left(5 \cdot \frac{1}{2}\right)^8 = \left(\frac{5}{2}\right)^8\] Ten sam wynik. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** 1. Potęga o wykładniku ujemnym: \[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\] Użyliśmy przy przekształcaniu \(16^{-2}\) i \(2^{-8}\). 2. Potęga potęgi: \[(a^r)^s = a^{r \cdot s}\] Użyliśmy przy \((2^4)^{-2} = 2^{-8}\) oraz \((2^4)^2 = 2^8\). 3. Iloraz potęg o tej samej podstawie i iloczyn potęg o tym samym wykładniku: \[\frac{a^r}{b^r} = \left(\frac{a}{b}\right)^r, \quad (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r\] Użyliśmy przy łączeniu \(\dfrac{5^8}{2^8} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^8\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | B | Ktoś liczy \(\frac{5}{2}\) bez wykładnika - zapomina, że cała podstawa \(\frac{5}{2}\) jest podniesiona do potęgi 8 | | C | Ktoś myśli \(5 \cdot 2 = 10\) i podnosi do 8, ignorując, że \(16^{-2}\) to \(2^{-8}\), a nie \(2^{+1}\) | | D | Ktoś "upraszcza" wynik do samego \(10\) bez żadnego wykładnika - skrajne pominięcie potęgowania | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(16^{-2} \neq -16^2\). Wykładnik ujemny to **odwrotność**, nie negacja - \(16^{-2} = \frac{1}{16^2}\), nie \(-256\)! > ⚠️ **Uwaga:** Przy \((2^4)^{-2}\) pamiętaj o mnożeniu wykładników: \(4 \cdot (-2) = -8\), nie \(4 - 2 = 2\). To bardzo częsty błąd. > ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\(10^8\)) byłaby poprawna dla \(5^8 \cdot 2^8\), ale tu mamy \(2^{-8}\) - odwrotność! Znak wykładnika zmienia wszystko. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Zamiana \(16\) na potęgę \(2\) \(16 = 2^4\), więc: \[5^8 \cdot 16^{-2} = 5^8 \cdot (2^4)^{-2} = 5^8 \cdot 2^{-8} = \dfrac{5^8}{2^8} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^8.\] ### Sposób 2 - Wzór \(\left(\tfrac{a}{b}\right)^n = \tfrac{a^n}{b^n}\) \[5^8 \cdot 16^{-2} = \dfrac{5^8}{16^2} = \dfrac{5^8}{256} = \dfrac{5^8}{2^8} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^8.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(\tfrac{5}{2}\)** - ktoś pomylił \(5^8/2^8\) z \(5/2\) (opuścił wykładnik). - **C. \(10^8\)** - mylne przekształcenie \(5\cdot 2 = 10\) (tu jest iloraz, nie iloczyn). - **D. \(10\)** - dwa błędy jednocześnie. **Kluczowe:** pamiętaj, że \(a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}\) - ujemny wykładnik **nie** oznacza ujemnej wartości. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Użycie wzoru na potęgi Rozważmy wyrażenie 58 * 16⁻²: 1. **Rozpisujemy potęgę:** 16⁻² = (2⁴)⁻² = 2⁻⁸. 2. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 2⁻⁸. 3. **Przekształcamy do postaci:** 58 * 2⁻⁸ = 58 * (1/2⁸) = 58/256. 4. **Upraszczamy ułamek:** 58/256 = 29/128. 5. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 5:** To nieprawda. 6. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 108:** To nieprawda. 7. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 58:** To nieprawda. Zatem, 58 * 16⁻² = 29/128. W zadaniu podano, że wynik jest równy 8. Zatem, coś poszło nie tak. Zatem, musimy sprawdzić, czy w zadaniu jest błąd. Sprawdzając zadanie, widzimy, że powinno być 58 * 16⁻² = 58/(16²) = 58/256 = 29/128. Zatem, zadanie jest błędne. W zadaniu powinno być 58 * 16⁻² = 8. Zatem, musimy to obliczyć inaczej. 1. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 16⁻² = 58 * (1/16²) = 58/256 2. **Upraszczamy:** 58/256 = 29/128 3. **Sprawdzamy, czy 29/128 = 8:** To nieprawda. Zatem, zadanie jest błędne. 📖 Karta wzorów: s.4-5: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4 ### Sposób 2: Użycie logarytmu 1. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 16⁻² 2. **Zastosowanie logarytmu o podstawie 10:** log(58 * 16⁻²) = log(58) + log(16⁻²) = log(58) - 2 * log(16) 3. **Obliczamy:** log(58) ≈ 1.7709 i log(16) = 1.2041 = 1.7709 - 2 * 1.2041 = 1.7709 - 2.4082 = -0.6373 4. **Równanie:** -0.6373 = 8 (to jest błąd w zadaniu, powinno być równa -0.6373) 5. **Zatem, zadanie jest błędne.** 📖 Karta wzorów: s.6: Silnia n!=1·2 n, strona 13 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. 5:** 5 nie jest wynikiem obliczeń. * **C. 108:** 108 nie jest wynikiem obliczeń. * **D. (na zdjęciu):** (na zdjęciu) to nie jest poprawna odpowiedź. Zadanie jest błędne, ponieważ wynik 58 * 16⁻² = 29/128 ≠ 8. Prawidłowy wynik z obliczeń to -0.6373. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/1) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F1) ## Podobne zadania - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Liczba √5√5 jest równa A. 5 1 4 B. 5 1 2 C. 5 3 4 D. 5 - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/5) — Zadanie 5. (0-1) Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D. Wyrażenie √8 - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2308/zad/6) — \(3^{-1}\) Wartość wyrażenia -2 ∙81 jest równa (-[1] 9 ) A.[1] B. C. 3 D. (-3) 3 (- \(3^{1}\) ) A. \(\dfrac{1}{3}\) B. \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)\) C. \(3\) D - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Rozważamy przedziały liczbowe (-∞, 5) i ⟨-1, +∞). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedział _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_