# Matematyka — zadanie 10 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/10 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Funkcje ## Treść Zadanie 10. (0-1) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej ( ) 2 f x ax bx c , której miejsca zerowe to: 3 - i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax^2+bx+c, której miejsca zerowe A. 1, B. 2, C. 3, D. 4. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C (c = 3) ## Sposób 1 - Postać iloczynowa + wyznaczenie a Znamy miejsca zerowe: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\), więc możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x) = a(x + 3)(x - 1)\] Aby znaleźć \(a\), podstawiamy wierzchołek \(W = (-1, 4)\), czyli \(f(-1) = 4\): \[f(-1) = a(-1 + 3)(-1 - 1) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a\] \[-4a = 4 \implies \boxed{a = -1}\] Teraz rozwijamy: \[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3\] Odczytujemy: \(a = -1\), \(b = -2\), **\(c = 3\)**. ## Sposób 2 - Właściwość: c = f(0) Współczynnik wolny \(c\) to nic innego jak **wartość funkcji w punkcie \(x = 0\)**, czyli punkt przecięcia paraboli z osią \(OY\). Korzystamy z postaci iloczynowej (jak wyżej, już z wyznaczonym \(a = -1\)): \[c = f(0) = -(0+3)(0-1) = -3 \cdot (-1) = 3\] Alternatywnie, ze wzorów Viète'a: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\), skąd: \[(-3) \cdot 1 = \frac{c}{-1} \implies -3 = -c \implies c = 3\] ## Wzory z karty CKE **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i wzory Viète'a: \[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\] Wzory Viète'a użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia \(c\) bez rozwijania nawiasów. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A (\(c = 1\)) | Pomyłka: wzięcie \(x_2 = 1\) jako wartości \(c\) bez żadnych obliczeń | | B (\(c = 2\)) | Wyznaczenie \(-b\) zamiast \(c\); tutaj \(b = -2\), więc \(-b = 2\) - zamiana współczynników | | D (\(c = 4\)) | Wzięcie \(q = 4\) (rzędna wierzchołka) jako wartości \(c\) - \(c \neq q\) w ogólności! | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** \(c = f(0)\), nie \(f(-3)\) ani \(f(1)\)! Współczynnik wolny to wartość funkcji dla \(x = 0\), czyli punkt na osi \(OY\). > ⚠️ **Uwaga:** Rzędna wierzchołka \(q = 4\) to **nie** jest \(c\). Wierzchołek jest wewnątrz paraboli, nie na osi \(OY\) - mylenie \(q\) z \(c\) to klasyczna pułapka! > ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczając \(a\) z wierzchołka, sprawdź znak - tutaj parabola jest skierowana ramionami **w dół** (wierzchołek to maksimum), więc \(a < 0\). Wzięcie \(a = 1\) dałoby błędne \(c\). **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Postać iloczynowa i odczytanie \(c\) Z miejsc zerowych: \(f(x) = a(x+3)(x-1)\). Wykorzystujemy wierzchołek \(W=(-1, 4)\): \[4 = a(-1+3)(-1-1) = a\cdot 2\cdot(-2) = -4a \Rightarrow a = -1.\] Rozwijamy: \[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3.\] Współczynnik \(c = 3\). ### Sposób 2 - Obliczenie \(f(0)\) Współczynnik \(c\) to **wyraz wolny**, czyli \(f(0)\). Wykorzystując wyliczone \(a = -1\): \[f(0) = -(0+3)(0-1) = -3\cdot(-1) = 3.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(1\)** - pominięto znak \(-\) przy \(a\), lub liczono \(a\cdot x_1\cdot x_2\) z innym znakiem. - **B. \(2\)** - częściowe obliczenie, zaniedbano część. - **D. \(4\)** - to \(y_W\) (wierzchołek), nie \(c\). **Kluczowa własność:** \(f(0) = c\) - wyraz wolny to wartość funkcji w zerze. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1: Znajdowanie współczynników a i b z miejsc zerowych 1. **Znamy miejsca zerowe:** f(x) ma pierwiastki -3 i 1. To oznacza, że f(-3) = 0 i f(1) = 0. 2. **Wzór funkcji kwadratowej:** f(x) = ax² + bx + c 3. **Korzystamy z miejsc zerowych:** Ponieważ -3 i 1 są pierwiastkami, możemy zapisać f(x) jako: f(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x + 3)(x - 1) 4. **Wyznaczamy c:** Wiedząc, że f(1) = 0, podstawiamy x = 1 do wzoru: f(1) = a(1 + 3)(1 - 1) = 0 a(4)(0) = 0 0 = 0 (To nie daje nam informacji o a, ale potwierdza, że 1 jest pierwiastkiem). 5. **Wyznaczamy c:** Zauważmy, że na rysunku, wartość funkcji f(x) w punkcie x=1 wynosi 0. Ponieważ f(x) = a(x+3)(x-1), to dla x=1, f(1) = a(1+3)(1-1) = 0. Z rysunku wiemy, że wartość funkcji w x=-1 wynosi 4, więc musimy znaleźć a. 6. **Wyznaczamy a:** Z rysunku widać, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4). Wzór na wierzchołek paraboli to: x_w = -b/(2a). Ponieważ wierzchołek znajduje się w x = -1, mamy: -1 = -b/(2a) => b = 2a 7. **Wyznaczamy c:** Wzór funkcji to f(x) = a(x+3)(x-1) = a(x² + 2x - 3). Zatem c = -3a. Wiedząc, że wierzchołek ma wartość 4, możemy obliczyć c: 4 = a(-1+3)(-1-1) = a(2)(-2) = -4a. Zatem a = -1. 8. **Obliczamy c:** c = -3a = -3 * (-1) = 3. 📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7 ### Sposób 2: Wykorzystanie wierzchołka paraboli i miejsc zerowych 1. **Wierzchołek:** Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie W(-1, 4). To oznacza, że wartość x w wierzchołku wynosi -1, a wartość y w wierzchołku wynosi 4. 2. **Wzór na wierzchołek paraboli:** Wzór na współrzędne wierzchołka paraboli f(x) = a(x - x_w)² + y_w to x_w = -b/(2a) i y_w = f(x_w). 3. **Obliczamy a:** Znamy y_w = 4 i x_w = -1. Podstawiamy do wzoru f(x) = a(x + 1)² + 4. Ponieważ f(-3) = 0, podstawiamy x = -3: 0 = a(-3 + 1)² + 4 0 = a(-2)² + 4 0 = 4a + 4 -4 = 4a a = -1 4. **Obliczamy c:** Teraz mamy f(x) = -1(x + 1)² + 4 = -1(x² + 2x + 1) + 4 = -x² - 2x - 1 + 4 = -x² - 2x + 3. Zatem c = 3. 📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. 1:** To nieprawda, ponieważ wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 1. * **B. 2:** Podobnie jak w przypadku A, wartość funkcji w wierzchołku nie jest równa 2. * **D. 4:** Wierzchołek paraboli nie znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 4. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/10) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F10) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (0-1) Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem ( ) ( ) 3 1 6 3 f x x jest liczba A. 3 6 3 B. 1 6 3 C. 2 3 1 D. 1 2 3 3 Informacja do zad - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty (0, 4) A = i (2, 2) B = Obrazem prost - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Wskaż oś liczbową, na której przedstawiono zbiór wszystkich wartości p, dla których funkcja liniowa f(x) = (8 - p2)x + p jest rosnąca. A. p 8 C - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/10) — Zadanie 7. (0-1) Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem ( ) ( ) 3 1 6 3 f x x jest liczba A. 3 6 3 B. 1 6 3 C. 2 3 1 D. 1 2 3 3 Informacja do zad _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_