# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
Punkt
(
)
2017,0
A =
należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
A.
( )
(
)
2
2017
f x
x
B.
( )
2
2017
f x
x
C.
( )
(
)(
)
2017
2017
f x
x
x
D.
( )
2
2017
f x
x
Punkt A=(2017,0) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem A. f(x)=(x+2017)^2; B. f(x)=x^2-2017; C. f(x)=(x+2017)(x-2017); D. f(x)=x^2+2017.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Podstawa \(a\) potęgi jest równa **\(2\)**.

## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji

Wiemy, że punkt \(A = (1, 2)\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = a^x\).

**Podstawiamy współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji:**

\[f(1) = a^1\]

Skoro punkt \(A = (1, 2)\) leży na wykresie, to \(f(1) = 2\), czyli:

\[a^1 = 2\]

\[a = 2\]

**Zatem podstawa potęgi wynosi \(a = 2\).**

Możemy też sprawdzić, że \(a = 2 > 0\) i \(a \neq 1\), więc jest to poprawna podstawa funkcji wykładniczej.

## Sposób 2 - weryfikacja i odczyt z wykresu

Skoro \(a = 2\), to wzór funkcji to \(f(x) = 2^x\).

Sprawdzamy kilka wartości, by upewnić się, że wykres wygląda sensownie:

\[f(0) = 2^0 = 1 \quad \Rightarrow \quad (0, 1) \text{ należy do wykresu}\]

\[f(1) = 2^1 = 2 \quad \Rightarrow \quad (1, 2) \text{ - zgadza się z punktem } A\]

\[f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \left(-1, \frac{1}{2}\right) \text{ należy do wykresu}\]

Wykres funkcji \(f(x) = 2^x\) jest rosnący (bo \(a = 2 > 1\)), przechodzi przez \((0, 1)\) i rośnie szybko dla \(x > 0\). To zgadza się z typowym wyglądem wykresu funkcji wykładniczej o podstawie \(a > 1\).

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja funkcji wykładniczej** i podstawienie. Warto jednak pamiętać o własnościach potęg z **Działu 2 (s. 4-5)**:

\[a^1 = a\]

To właśnie ten fakt (każda liczba do potęgi 1 równa się tej liczbie) jest kluczem do rozwiązania.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A: \(-\frac{1}{2}\) | Podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia (\(a > 0\)), więc \(a = -\frac{1}{2}\) jest **niemożliwe** - taki wzór nie definiuje funkcji wykładniczej |
| B: \(\frac{1}{2}\) | Gdyby \(a = \frac{1}{2}\), to \(f(1) = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2} \neq 2\) - punkt \((1, 2)\) nie leżałby na wykresie |
| C: \(-2\) | Podobnie jak w A - podstawa ujemna jest **niedozwolona** w definicji funkcji wykładniczej (\(a > 0, a \neq 1\)) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Podstawa funkcji wykładniczej \(f(x) = a^x\) musi spełniać \(a > 0\) i \(a \neq 1\). Odpowiedzi A i C (ujemne) można od razu wyeliminować - nie trzeba liczyć!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \(f(x) = a^x\) z \(f(x) = x^a\) (potęgową). Tu **podstawa jest stała**, a **wykładnik jest zmienną**.

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\(\frac{1}{2}\)) to typowy "mylący" wybór - bo \(\frac{1}{2}\) i \(2\) są odwrotnościami. Funkcja \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) jest malejąca i daje wartość \(\frac{1}{2}\) dla \(x=1\), nie \(2\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Podstawienie punktu
Jeśli \(A = (1, 2)\) leży na wykresie \(f(x) = a^x\), to \(f(1) = 2\):
\[a^1 = 2 \Rightarrow a = 2.\]

### Sposób 2 - Ogólna własność funkcji wykładniczej
Dla funkcji wykładniczej \(f(x) = a^x\) wartość \(f(1) = a\). Bezpośredni odczyt z wykresu: dla \(x = 1\) jest \(y = 2\), więc \(a = 2\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, C** (wartości ujemne) - funkcja wykładnicza wymaga \(a > 0\) (inaczej \(a^{1/2}\) byłoby niezdefiniowane dla liczb rzeczywistych).
- **B. \(\tfrac{1}{2}\)** - wykres funkcji \(y = (1/2)^x\) byłby **malejący** (tu jest rosnący). Ponadto \((1/2)^1 = 1/2 \ne 2\).

**Zapamiętaj:** wykres \(a^x\) dla \(a > 1\) rośnie, dla \(0 < a < 1\) maleje. Wartość \(f(1) = a\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Analiza wykresu i wzoru funkcji

1. **Zrozumienie wykresu:** Wykres funkcji wykładniczej \(f(x) = a^x\) przechodzi przez punkt A = (1, 2). Oznacza to, że gdy x = 1, to f(x) = 2.
2. **Wykorzystanie wzoru:** Wiemy, że \(f(x) = a^x\). Podstawiamy współrzędne punktu A do wzoru: \(2 = a^1\), czyli \(a = 2\).
3. **Sprawdzenie:** Wzór funkcji to \(f(x) = 2^x\). Sprawdzamy, czy ten wzór pasuje do wykresu.

### Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji wykładniczej i punktu

1. **Definicja funkcji wykładniczej:** Funkcja wykładnicza ma postać \(f(x) = a^x\), gdzie \(a\) jest podstawą wykładnika.
2. **Punkt A:** Punkt A = (1, 2) oznacza, że \(f(1) = 2\).
3. **Obliczenie a:** Zatem \(a^1 = 2\), co daje \(a = 2\).

📖 Karta wzorów: **Pole trójkąta** (strona 6), Wartość bezwzględna |x|, nierówności |x-a|≤r

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. (1/2):** Jeśli \(a = 1/2\), to \(f(x) = (1/2)^x\). Wtedy \(f(1) = (1/2)^1 = 1/2\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).
* **B. (1/2):** Podobnie jak w przypadku A, jeśli \(a = 1/2\), to \(f(x) = (1/2)^x\), a \(f(1) = 1/2\).
* **C. -2:** Jeśli \(a = -2\), to \(f(x) = (-2)^x\). Funkcja wykładnicza z ujemną podstawą nie jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x, a dodatkowo \(f(1) = (-2)^1 = -2\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).
* **D. 2:** Jak pokazaliśmy, jeśli \(a = 2\), to \(f(x) = 2^x\), a \(f(1) = 2^1 = 2\), co zgadza się z punktem A = (1, 2).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2+4 𝑥-2 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠2. Wartość funkcji 𝑓 dla argumentu 4 jest równa A. 6 B. 2 C. 1
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (1 pkt) Funkcja f jest określona wzorem ( ) 4 1 x f x + dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba 1 2 f       jest równa A. 1 2 B. 3 2 C. 3 D. 
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Punkt ( ) 2017,0 A = należy do wykresu funkcji f określonej wzorem A. ( ) ( ) 2 2017 f x x B. ( ) 2 2017 f x x C. ( ) ( )( ) 2017 2017 f x x x
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Punkt ( ) 2017,0 A = należy do wykresu funkcji f określonej wzorem A. ( ) ( ) 2 2017 f x x B. ( ) 2 2017 f x x C. ( ) ( )( ) 2017 2017 f x x x

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_