# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
W ciągu arytmetycznym (
)
na
, określonym dla
1
n ≥, dane są:
1
5
a =
,
2
11
a =
. Wtedy
A.
14
71
a
B.
12
71
a
C.
11
71
a
D.
10
71
a
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są: a_1=5, a_2=11. Wtedy A. a_14 = 71, B. a_12 = 71, C. a_11 = 71, D. a_10 = 71.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(a_{12} = 71\)

## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego

**Wyznaczamy różnicę ciągu:**

\[r = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\]

**Korzystamy ze wzoru ogólnego:**

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]

Podstawiamy \(a_1 = 5\), \(r = 6\):

\[a_n = 5 + (n-1) \cdot 6 = 5 + 6n - 6 = 6n - 1\]

**Sprawdzamy, dla jakiego \(n\) mamy \(a_n = 71\):**

\[6n - 1 = 71\]
\[6n = 72\]
\[n = 12\]

**Zatem \(a_{12} = 71\).**

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Mamy wzór \(a_n = 6n - 1\). Podstawiamy wprost \(n = 12\):

\[a_{12} = 6 \cdot 12 - 1 = 72 - 1 = 71 \checkmark\]

Sprawdzamy też \(a_1\) i \(a_2\), żeby upewnić się, że wzór jest poprawny:

\[a_1 = 6 \cdot 1 - 1 = 5 \checkmark\]
\[a_2 = 6 \cdot 2 - 1 = 11 \checkmark\]

Wzór działa - odpowiedź B jest pewna.

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]

gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) to różnica ciągu. Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia postaci ogólnej ciągu, a następnie rozwiązaliśmy równanie \(a_n = 71\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(a_{14}\): ktoś wyliczył \(6 \cdot 14 - 1 = 83 \neq 71\); albo źle wyznaczył \(r\) (np. wziął \(r = 5\) zamiast \(r = 6\)) i dostał \(a_{14} = 5 + 13 \cdot 5 = 70 \approx 71\) |
| C | \(a_{11}\): \(6 \cdot 11 - 1 = 65 \neq 71\); błąd może wynikać z użycia wzoru \(a_n = a_1 + n \cdot r\) (bez odejmowania 1) - wtedy \(a_1 + 11 \cdot 6 = 71\), ale to błędny wzór |
| D | \(a_{10}\): \(6 \cdot 10 - 1 = 59 \neq 71\); możliwy błąd przy wyznaczaniu \(r\) - np. \(r = 7\) zamiast \(r = 6\), co daje \(a_{10} = 5 + 9 \cdot 7 = 68\), ciągle nie 71 |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\) jest \((n-1)\), **nie** \(n\). To najczęstszy błąd - napisanie \(a_n = a_1 + n \cdot r\). Przy \(n = 1\) taki wzór dałby \(a_1 + r\), a nie \(a_1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę ciągu liczymy jako \(r = a_2 - a_1\), a nie \(a_1 - a_2\). Tutaj \(r = 11 - 5 = 6\), nie \(-6\).

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu wzoru ogólnego warto zawsze **sprawdzić** go dla \(n = 1\) i \(n = 2\) - jeśli nie pasuje, gdzieś jest błąd algebraiczny.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wzór na \(n\)-ty wyraz
Różnica: \(r = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\).
Wzór: \(a_n = a_1 + (n-1)r = 5 + 6(n-1) = 6n - 1\).

Szukamy \(n\) takiego, że \(a_n = 71\):
\[6n - 1 = 71 \Rightarrow 6n = 72 \Rightarrow n = 12.\]
Zatem \(a_{12} = 71\).

### Sposób 2 - Bezpośrednie sprawdzenie
- \(a_{10} = 5 + 9\cdot 6 = 59\)
- \(a_{11} = 5 + 10\cdot 6 = 65\)
- \(a_{12} = 5 + 11\cdot 6 = 71\) ✓
- \(a_{14} = 5 + 13\cdot 6 = 83\)

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(a_{14} = 71\)** - dałoby \(a_{14} = 83\).
- **C. \(a_{11} = 71\)** - dałoby \(a_{11} = 65\).
- **D. \(a_{10} = 71\)** - dałoby \(a_{10} = 59\).

**Trik:** zawsze wyznacz \(r\), a potem oblicz wzór \(a_n\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Obliczenie ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
1. **Zdefiniowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**
W ciągu arytmetycznym, ogólny wzór na n-ty wyraz (aₙ) to:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
gdzie:
* \(a_1\) to pierwszy wyraz ciągu
* \(r\) to różnica ciągu

2. **Wykorzystanie danych:**
Wiemy, że \(a_1 = 5\) i \(a_2 = 11\). Zatem:
\[a_2 = a_1 + (2-1)r\]
\[11 = 5 + r\]
\[r = 11 - 5 = 6\]

3. **Obliczenie a₁₂:**
Teraz, gdy znamy \(a_1\) i \(r\), możemy obliczyć \(a_{12}\):
\[a_{12} = a_1 + (12-1)r = 5 + (11)(6) = 5 + 66 = 71\]

📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9

### Sposób 2: Obliczenie a₁₄ korzystając z a₁₂
1. **Obliczenie a₁₄:**
Używamy wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_{14} = a_1 + (14-1)r = 5 + (13)(6) = 5 + 78 = 83\]

2. **Porównanie z odpowiedziami:**
Zauważamy, że a₁₄ = 83, a to nie jest żadna z podanych odpowiedzi. Zatem, musimy wrócić do obliczenia a₁₂ i sprawdzić, czy to jest poprawna odpowiedź.

📖 Karta wzorów: Wzory arytmetyczne: aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. a₁₄ = 71:** Jak obliczyliśmy wcześniej, \(a_{14} = 83\), więc ta odpowiedź jest błędna.
* **C. a₁₁ = 71:** Obliczmy \(a_{11} = a_1 + (11-1)r = 5 + (10)(6) = 5 + 60 = 65\). Ta odpowiedź również jest błędna.
* **D. a₁₀ = 71:** Obliczmy \(a_{10} = a_1 + (10-1)r = 5 + (9)(6) = 5 + 54 = 59\). Ta odpowiedź również jest błędna.

Podsumowując, jedyną poprawną odpowiedzią jest B, ponieważ obliczyliśmy \(a_{12} = 71\) prawidłowo, wykorzystując podane dane i wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_