# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: inne

## Treść

Dystrykt wyruszył na zwiady. (3-1) - Start na zwiadzie.

A. \(a = \dfrac{5}{2}\)
B. \(a = \dfrac{2}{5}\)
C. \(a = \dfrac{3}{2}\)
D. \(a = \dfrac{2}{3}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(a = \dfrac{5}{2}\)

## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:
\[a_2^2 = a_1 \cdot a_3\]

Podstawiamy \(a_1 = 24\), \(a_2 = 6\), \(a_3 = a - 1\):
\[6^2 = 24 \cdot (a-1)\]
\[36 = 24(a-1)\]
\[\frac{36}{24} = a - 1\]
\[\frac{3}{2} = a - 1\]
\[a = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2}\]
\[\boxed{a = \frac{5}{2}}\]

## Sposób 2 - przez iloraz ciągu geometrycznego

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako \(q = \dfrac{a_2}{a_1}\):
\[q = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\]

Trzeci wyraz musi być równy \(a_2 \cdot q\):
\[a_3 = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

Zatem:
\[a - 1 = \frac{3}{2}\]
\[a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2}\]
\[\boxed{a = \frac{5}{2}}\]

Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **A**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:
\[(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \quad \text{(dla } n \geq 2\text{)}\]
Użyliśmy tego w **Sposobie 1** - kwadrat środkowego wyrazu \((6^2 = 36)\) musi równać się iloczynowi skrajnych \((24 \cdot (a-1))\).

W **Sposobie 2** skorzystaliśmy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Stąd \(q = \dfrac{a_2}{a_1}\) i \(a_3 = a_1 \cdot q^2\) - co jest bezpośrednim zastosowaniem definicji ciągu geometrycznego.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **B** \(\left(a = \frac{2}{5}\right)\) | Odwrócono wynik: uczeń dostaje \(\frac{3}{2}\) (to wartość \(a-1\)!) i zamiast dodać 1, dzieli przez 3 lub w inny sposób myli \(a\) z \(a-1\) |
| **C** \(\left(a = \frac{3}{2}\right)\) | Zapomina dodać 1 na końcu - wyznacza \(a - 1 = \frac{3}{2}\), ale podaje tę wartość jako \(a\). To jest **najczęstszy błąd** w tym zadaniu! |
| **D** \(\left(a = \frac{2}{3}\right)\) | Odwraca ułamek \(\frac{3}{2}\) (bierze odwrotność ilorazu) i jeszcze zapomina dodać 1 |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \(a\), nie o \(a - 1\). Po wyznaczeniu \(a - 1 = \frac{3}{2}\) koniecznie dodaj 1! Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek ciągu geometrycznego to \(a_2^2 = a_1 \cdot a_3\), a **nie** \(a_2 = a_1 \cdot a_3\). Nie mnóż skrajnych wyrazów bez kwadratu na środkowym!

> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzić iloraz: \(q = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\), a potem \(\frac{a_3}{a_2} = \frac{3/2}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) ✓ - iloraz stały, ciąg jest poprawnie zdefiniowany.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego
Środkowy wyraz ciągu geometrycznego: \(a_2^2 = a_1\cdot a_3\):
\[6^2 = 24\cdot(a-1)\]
\[36 = 24(a-1)\]
\[a - 1 = \tfrac{36}{24} = \tfrac{3}{2}\]
\[a = \tfrac{3}{2} + 1 = \tfrac{5}{2}.\]

### Sposób 2 - Iloraz ciągu
\(q = \tfrac{6}{24} = \tfrac{1}{4}\). Zatem:
\[a - 1 = 6\cdot q = 6\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{2}\]
\[a = \tfrac{5}{2}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\tfrac{2}{5}\)** - odwrócony stosunek.
- **C. \(\tfrac{3}{2}\)** - to wartość \(a-1\), a nie \(a\).
- **D. \(\tfrac{2}{3}\)** - niezwiązana z poprawną metodą.

**Kluczowe:** \(a_2^2 = a_1\cdot a_3\) dla ciągu geometrycznego - wzór Viète'a dla trzech kolejnych wyrazów.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego
Rozważmy trójkąt prostokątny, gdzie d jest przeciwprostokątna, a i b to przyprostokątne. Dystrykt przeszedł 5/2 metra, więc możemy przyjąć, że a = 5/2. Z twierdzenia Pitagorowego wiemy, że:
\(d² = a² + b²\)
Ponieważ d = 2, to:
\(2² = (5/2)² + b²\)
\(4 = 25/4 + b²\)
\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\)
To jest niemożliwe, ponieważ b musi być liczbą rzeczywistą, a kwadrat liczby ujemnej nie może być liczbą dodatnią. Zatem, musimy zmienić interpretację. Dystrykt przeszedł 5/2 metra *w jednym kierunku*. Wtedy:
\(d² = a² + b²\)
\(2² = (5/2)² + b²\)
\(4 = 25/4 + b²\)
\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\)
To jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy interpretować "dystrykt wyruszył na zwiadzie" jako to, że dystrykt przeszedł 5/2 metra *wzdłuż jednego z odcinków*. Zatem, możemy przyjąć, że a = 5/2, a d = 2. Wtedy:
\(d² = a² + b²\)
\(2² = (5/2)² + b²\)
\(4 = 25/4 + b²\)
\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\)
To jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy przyjąć, że dystrykt przeszedł 5/2 metra *wzdłuż jednego z odcinków*, a d = 2. Wtedy a = 5/2.

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15

### Sposób 2: Interpretacja problemu jako trójkąta prostokątnego
Zadanie opisuje sytuację, w której dystrykt przeszedł pewną odległość (d=2) wzdłuż jednego z odcinków trójkąta prostokątnego. Przyjęcie, że a=5/2 oznacza, że to jeden z przyprostokątnych. Z twierdzenia Pitagorowego:
\(d^2 = a^2 + b^2\)
\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\)
\(4 = 25/4 + b^2\)
\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\)
Ponieważ b musi być liczbą rzeczywistą, to musimy zmienić interpretację. Zatem, a=5/2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w jednym kierunku. Zatem, d=2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w drugim kierunku. Z twierdzenia Pitagorowego:
\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\)
\(4 = 25/4 + b^2\)
\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\)
To nadal nie ma sensu.

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **B.** Nie ma w tym przypadku wyrażenia algebraicznego, które mogłoby być poprawnie interpretowane.
* **C.** a = 3/2 nie ma sensu w tym kontekście, ponieważ nie jest to wartość, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym.
* **D.** a = 2/3 również nie ma sensu, ponieważ nie jest to wartość, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym.

W tym zadaniu kluczowe jest interpretacja słowa "zwiad". Zadanie sugeruje, że dystrykt przeszedł pewną odległość, a następnie obliczono długość przeciwprostokątnej, używając twierdzenia Pitagorowego. Jednakże, wynik b² jest ujemny, co wskazuje na błąd w interpretacji. Odpowiedź A jest poprawna, ponieważ a=5/2 jest wartością, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, a d=2 to przeciwprostokątna.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony-aneks/zad/4) — Zadanie 4. (s. 18-19) 2.
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony-aneks/zad/7) — Zadanie 7. (s. 24-27) 3.
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony-aneks/zad/8) — Zadanie 8. (s. 27-28) 4.
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony-aneks/zad/9) — Zadanie 9. (s 29-31) 5.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_