# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Trygonometria

## Treść

\(^{\circ}\) Jeśli m = sin50 , to \(^{\circ} ^{\circ} ^{\circ} ^{\circ}\)

A. \(m = \sin 40^\circ\)
B. \(m = \cos 40^\circ\)
C. \(m = \cos 50^\circ\)
D. \(m = \tan 50^\circ\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(m = \sin 50° = \cos 40°\)

## Sposób 1 - wzór redukcyjny (kąty dopełniające)

Kąty \(50°\) i \(40°\) są **dopełniające** - sumują się do \(90°\):
\[50° + 40° = 90°\]

Z karty wzorów mamy wzór redukcyjny dla kątów dopełniających:
\[\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha\]

Podstawiamy \(\alpha = 40°\):
\[\sin(90° - 40°) = \cos 40°\]
\[\sin 50° = \cos 40°\]

Skoro \(m = \sin 50°\), to:
\[\boxed{m = \cos 40°}\]

## Sposób 2 - interpretacja jednostkowego okręgu / trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym, jeśli jeden kąt ostry wynosi \(\alpha\), to drugi wynosi \(90° - \alpha\).

Weźmy trójkąt prostokątny z kątami \(40°\), \(50°\) i \(90°\):

- Sinus kąta = **przeciwprostokątna do przyprostokątnej**, przy kącie \(50°\):
\[\sin 50° = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } 50°}{\text{przeciwprostokątna}}\]

- Cosinus kąta \(40°\) = **przyległa do przeciwprostokątnej**, przy kącie \(40°\):
\[\cos 40° = \frac{\text{przyprostokątna przyległa do } 40°}{\text{przeciwprostokątna}}\]

Ale **przyległa do kąta \(40°\)** to dokładnie **ta sama przyprostokątna**, która leży **naprzeciwko kąta \(50°\)**!

Stąd: \(\sin 50° = \cos 40°\), czyli \(m = \cos 40°\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne dla kątów dopełniających:
\[\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha\]
\[\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha\]

Użyliśmy pierwszego wzoru, podstawiając \(\alpha = 40°\), by zamienić \(\sin 50°\) na \(\cos 40°\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(\sin 50° \neq \sin 40°\) - to różne wartości. Gdyby sinus był parzyście symetryczny względem \(45°\), byłoby to prawdziwe, ale tak nie jest. \(\sin 40° \approx 0{,}643\), \(\sin 50° \approx 0{,}766\). |
| C | \(\cos 50° = \sin 40° \approx 0{,}643 \neq \sin 50° \approx 0{,}766\). To odwrotny wzór redukcyjny - \(\cos 50° = \sin 40°\), nie \(\sin 50°\). |
| D | \(\operatorname{tg} 50° \approx 1{,}19 \neq 0{,}766 = \sin 50°\). Tangens i sinus to zupełnie różne funkcje - tylko dla \(0°\) obie wynoszą \(0\). |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)\) działa w **obie strony** - łatwo pomylić, który kąt odejmujemy od \(90°\). Zapamiętaj: kąty w nawiasach **sumują się do \(90°\)**.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \(\cos 40°\) z \(\cos 50°\)! Odpowiedź C jest specjalnie skonstruowana, by złapać ucznia, który zapomni który kąt wychodzi po odjęciu od \(90°\).

> ⚠️ **Uwaga:** Wartości liczbowe warto znać orientacyjnie: \(\sin 30° = 0{,}5\), \(\sin 45° \approx 0{,}707\), \(\sin 60° \approx 0{,}866\). Szybka weryfikacja liczb eliminuje odpowiedzi A, C, D bez wzorów.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wzór redukcyjny
\(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\). Zatem:
\[\sin 50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ.\]

### Sposób 2 - Przez tożsamość
W trójkącie prostokątnym: jeśli jeden kąt ostry to \(\alpha\), drugi to \(90^\circ - \alpha\). Sinus kąta ostrego = cosinus kąta dopełniającego.
Dla \(\alpha = 50^\circ\): dopełniający \(= 40^\circ\), więc \(\sin 50^\circ = \cos 40^\circ\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\sin 40^\circ\)** - \(\sin\) jest rosnący na \((0^\circ, 90^\circ)\), więc \(\sin 50^\circ \ne \sin 40^\circ\).
- **C. \(\cos 50^\circ\)** - mylenie: \(\cos 50^\circ = \sin 40^\circ \ne \sin 50^\circ\).
- **D. \(\tan 50^\circ\)** - niezwiązane z sinusem.

**Pamiętaj:** \(\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) dla \(\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin²α + cos²α = 1
[kroki z MathJax]
1. Wiemy, że \(m = \sin 50^\circ\).
2. Chcemy znaleźć wartość \(m\).
3. Zastosujemy tożsamość trygonometryczną: \(\sin^2(50^\circ) + \cos^2(50^\circ) = 1\)
4. Zatem: \(m^2 + \cos^2(50^\circ) = 1\)
5. Przekształcamy: \(m^2 = 1 - \cos^2(50^\circ)\)
6. Korzystając z tożsamości: \(1 - \cos^2(50^\circ) = \sin^2(50^\circ)\)
7. Zatem: \(m^2 = \sin^2(50^\circ)\)
8. Stąd: \(m = \sqrt{\sin^2(50^\circ)} = |\sin(50^\circ)|\)
9. Ponieważ \(50^\circ\) jest kątem w pierwszej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, to \(m = \sin(50^\circ)\).
10. W zadaniu podano, że \(m = \sin 50^\circ\), więc \(m = \cos 40^\circ\) jest poprawne.
11. Zatem \(m = \cos 40^\circ\).

📖 Karta wzorów: s.11, strona 11

### Sposób 2: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin(90° - x) = cos(x)
[kroki z MathJax]
1. Wiemy, że \(m = \sin 50^\circ\).
2. Zauważmy, że \(90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
3. Zastosujemy tożsamość: \(\sin(90^\circ - x) = \cos(x)\)
4. Zatem: \(\sin(90^\circ - 50^\circ) = \cos(50^\circ)\)
5. Czyli: \(m = \cos(50^\circ)\).
6. Zatem \(m = \cos 50^\circ\).

📖 Karta wzorów: s.11, strona 11

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. \(m = \sin 40\)**: Nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystuje tożsamości trygonometrycznej i nie prowadzi do poprawnej wartości m.
* **C. \(m = \cos 50\)**: Prawidłowa, ale mniej intuicyjna niż metoda z tożsamością \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Zatem, choć poprawna, to nie jest najprostsza.
* **D. \(m = \tan 50\)**: Nieprawidłowe, ponieważ tangens jest funkcją, która nie jest równa sinusowi. Nie ma bezpośredniego związku z podaną wartością sin(50°).

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_