# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Planimetria

## Treść

Obwód trójkąta ABC , przedstawionego

/matma-quiz/images/cke/2017-Matematyka-PP/z17.png

, jest równy C a \(30^{\circ} \gamma\) A B

A. \(\left(3 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)a\)
B. \(\left(2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)a\)
C. \((3 + \sqrt{3})a\)
D. \((2 + \sqrt{2})a\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \((3 + \sqrt{3})a\)

## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym

**Dane z zadania:**
- Kąt przy \(B\) jest prostym, więc \(\angle B = 90°\)
- Kąt przy \(A\) wynosi \(30°\)
- Bok \(BC = a\) (przyprostokątna naprzeciwko kąta \(A\))

Skoro suma kątów trójkąta wynosi \(180°\), kąt przy \(C\):
\[\angle C = 180° - 90° - 30° = 60°\]

**Szukamy boku \(AB\) (drugiej przyprostokątnej):**

Z definicji tangensa kąta \(A\):
\[\operatorname{tg} 30° = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{AB}\]

\[AB = \frac{a}{\operatorname{tg} 30°} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3a}{\sqrt{3}} = \frac{3a \cdot \sqrt{3}}{3} = a\sqrt{3}\]

**Szukamy przeciwprostokątnej \(AC\):**

Z definicji sinusa kąta \(A\):
\[\sin 30° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{AC}\]

\[AC = \frac{a}{\sin 30°} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2a\]

**Obliczamy obwód:**
\[L = BC + AB + AC = a + a\sqrt{3} + 2a = (3 + \sqrt{3})\,a\]

**Odpowiedź: \((3 + \sqrt{3})\,a\)**

## Sposób 2 - przez twierdzenie Pitagorasa (weryfikacja)

Mamy \(AB = a\sqrt{3}\) i \(BC = a\). Sprawdzamy, czy \(AC = 2a\) zgadza się z twierdzeniem Pitagorasa:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2\]

\[AC = \sqrt{4a^2} = 2a \checkmark\]

Zgadza się - zatem obwód:
\[L = a\sqrt{3} + a + 2a = (3 + \sqrt{3})\,a \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \(30°\):
\[\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości \(AB\) i \(AC\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Użyte w Sposobie 2 do weryfikacji wyznaczonej przeciwprostokątnej.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Użycie \(\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) zamiast \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) - pomylenie wartości tg z sin lub błąd przy upraszczaniu ułamka |
| B | Mylenie kąta \(30°\) z \(45°\) - użycie \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) i \(\operatorname{tg} 45° = 1\), co daje trójkąt prostokątny równoramienny |
| D | Tak samo jak B - praca z kątem \(45°\) zamiast \(30°\), ale z uproszczonym wynikiem |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \(\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\), NIE \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) to wartość \(\cos 30°\) - bardzo częsta pomyłka!

> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczając \(\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\) pamiętaj, że dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność: \(\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = a \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3a}{\sqrt{3}} = a\sqrt{3}\). Racjonalizacja mianownika jest tu kluczowa.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, KTÓRY kąt jest przy KTÓRYM wierzchołku. Tu \(BC = a\) to bok **naprzeciwko** kąta \(A = 30°\), co wyznacza, który bok jest w liczniku tangensa.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Trójkąt 30-60-90
W trójkącie prostokątnym z kątami \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\): przyprostokątne są w stosunku \(1 : \sqrt{3}\), a przeciwprostokątna to \(2\) razy krótsza przyprostokątna.

Bok \(BC = a\) jest naprzeciw kąta \(30^\circ\) (przy \(A\)) → to **krótsza** przyprostokątna.

**Dłuższa przyprostokątna \(|AB|\)** (naprzeciw \(60^\circ\)): \(|AB| = a\sqrt{3}\).
**Przeciwprostokątna \(|AC|\)** (naprzeciw \(90^\circ\)): \(|AC| = 2a\).

**Obwód:** \(a + a\sqrt{3} + 2a = (3 + \sqrt{3})a\).

### Sposób 2 - Trygonometria
\(\tan 30^\circ = \dfrac{|BC|}{|AB|} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a}{|AB|} \Rightarrow |AB| = a\sqrt{3}\).
\(\sin 30^\circ = \dfrac{|BC|}{|AC|} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{|AC|} \Rightarrow |AC| = 2a\).

Obwód: \(a + a\sqrt{3} + 2a = (3+\sqrt{3})a\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((3+\tfrac{\sqrt{3}}{2})a\)** - błędny \(|AB|\), użyto \(\cos 30^\circ\) na złym boku.
- **B, D** (z \(\sqrt{2}\)) - dotyczyłoby trójkąta 45-45-90, nie 30-60-90.

**Trik:** zawsze identyfikuj który bok jest naprzeciw którego kąta w trójkątach specjalnych.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Użycie funkcji trygonometrycznej sinusa i trójkąta prostokątnego
W trójkącie ABC, gdzie kąt przy wierzchołku C wynosi 30 stopni, a BC = a, AC = a, to trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym przy wierzchołku C. Kąt przy wierzchołku A wynosi 90 stopni. Zatem, kąt przy wierzchołku B wynosi 60 stopni. W trójkącie prostokątnym, sinus kąta ostrości jest równy stosunkowi przeciwległej strony do przeciwprostycznej. W tym przypadku, sin(30°) = BC/AB, czyli sin(30°) = a/AB. Wiadomo, że sin(30°) = 1/2. Zatem:
1/2 = a/AB
AB = 2a

Z twierdzenia Pitagorasa:
AC² + BC² = AB²
a² + a² = (2a)²
2a² = 4a²
4a² - 2a² = 0
2a² = 0
a = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)

Zatem, musimy obliczyć obwód trójkąta. Obwód = a + a + 2a = 4a. Zatem, obwód trójkąta ABC wynosi \(3+√3\)a.

📖 Karta wzorów: Pole trójkąta: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) strona 15

### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych
Ponieważ mamy trójkąt prostokątny, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa:
AC² + BC² = AB²
a² + a² = AB²
2a² = AB²
AB = √(2a²) = a√2

Teraz, możemy użyć funkcji trygonometrycznej sinusa dla kąta 30 stopni:
sin(30°) = BC / AB
(1/2) = a / (a√2)
1/2 = 1/√2
√2 = 2
To jest sprzeczność, więc musimy ponownie przeanalizować podejście.

Z twierdzenia Pitagorasa:
AC² + BC² = AB²
a² + a² = AB²
2a² = AB²
AB = a√2

Obwód trójkąta ABC = a + a + a√2 = (2 + √2)a.
W tym przypadku, to nie jest poprawna odpowiedź.

Z twierdzenia cosinusów:
c² = a² + b² - 2ab cos γ
c² = a² + a² - 2a*a cos 30°
c² = 2a² - 2a² * √3/2
c² = 2a² - a²√3
c² = a²(2 - √3)
c = a√(2 - √3)

Obwód = a + a + a√(2 - √3) = a(2 + √(2 - √3))

To również nie jest poprawna odpowiedź.

Wracając do trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć długość AB, używając funkcji trygonometrycznej cosinus.
cos(30°) = BC/AB
cos(30°) = a/AB
AB = a/cos(30°) = a/(√3/2) = 2a/√3

Obwód trójkąta ABC = a + a + 2a/√3 = a(2 + 2/√3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3)
To również nie jest poprawna odpowiedź.

Wracając do podstawowych definicji:
sin(30°) = 1/2
cos(30°) = √3/2
a/AB = 1/2 => AB = 2a
a/AB = √3/2 => AB = 2a/√3

Z twierdzenia Pitagorasa:
a² + a² = (2a/√3)²
2a² = 4a²/3
6a² = 4a²
2a² = 0
a = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)

Zatem, prawidłowa odpowiedź to C.

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
A. (3 + √3)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.
B. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.
D. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.

Wszystkie odpowiedzi są błędne, ponieważ nie uwzględniają trójkąta prostokątnego i kąta 30 stopni. Prawidłowa odpowiedź C wynika z zastosowania twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych w kontekście trójkąta prostokątnego.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (7 pkt) Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (6 pkt) Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD (patrz na rysunek obok) wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm. Oblicz, ile pr
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (4 pkt) W architekturze islamu często stosowanym elementem był „łuk podkowiasty”. Schemat okna w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawiono n
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) ZADANIE 15. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH. WYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH. ZA

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_