# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, trygonometria

## Treść

Na rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A=(2,-3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi x.

/matma-quiz/images/cke/2017-Matematyka-PP/z18.png

przedstawiona jest prosta k , przechodząca przez punkt A = (2, -3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt \(\alpha\) nachylenia tej prostej do osi Ox . y k 5 4 3 2 1 \(\alpha\) x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 A -4 Zatem 2 3 2 3

A. \(\tan\alpha = -\dfrac{2}{3}\)
B. \(\tan\alpha = -\dfrac{3}{2}\)
C. \(\tan\alpha = \dfrac{2}{3}\)
D. \(\tan\alpha = \dfrac{3}{2}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\[\operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{2}\]

## Sposób 1 - Ze współczynnika kierunkowego prostej

Prosta przechodzi przez punkt \(A = (2, -3)\) i przez początek układu \(O = (0, 0)\).

Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty:
\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Podstawiamy \(O = (0, 0)\) i \(A = (2, -3)\):
\[a = \frac{-3 - 0}{2 - 0} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}\]

Kluczowa zależność: **współczynnik kierunkowy prostej \(a = \operatorname{tg}\alpha\)**, gdzie \(\alpha\) to kąt nachylenia prostej do osi \(Ox\).

\[\operatorname{tg}\alpha = a = -\frac{3}{2}\]

**Odpowiedź: B**

## Sposób 2 - Bezpośrednio z definicji tangensa kąta

Z rysunku odczytujemy, że kąt \(\alpha\) jest kątem zawartym między prostą \(k\) a dodatnim kierunkiem osi \(Ox\).

Prosta opada (idzie z lewego górnego do prawego dolnego), więc \(\alpha\) jest kątem **rozwartym** - tangensa jest **ujemna**. Eliminujemy od razu odpowiedzi C i D.

Możemy myśleć o tym graficznie: przemieszczając się wzdłuż prostej o \(\Delta x = 2\) w prawo, "opadamy" o \(\Delta y = 3\) w dół.

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{zmiana } y}{\text{zmiana } x} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}\]

Wynik zgodny ze Sposobem 1.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej i współczynnik kierunkowy:
\[y = ax + b, \quad a = \operatorname{tg}\alpha\]

Użyliśmy tej zależności: współczynnik \(a\) obliczony ze wzoru na iloraz przyrostów jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Odwrócony ułamek: obliczono \(\frac{2}{3}\) zamiast \(\frac{3}{2}\), i wzięto minus - błąd w obliczeniu \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) (zamiana licznika z mianownikiem) |
| C | Wzięto \(\frac{2}{3}\) bez uwzględnienia znaku minusowego - zapomniano, że prosta opada |
| D | Obliczono \(\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{2}{-3}\) i wzięto wartość bezwzględną - podwójny błąd: odwrócony ułamek i zgubiony znak |

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}\), **nie** \(\frac{\Delta x}{\Delta y}\). Licznik to zmiana \(y\), mianownik to zmiana \(x\) - tak jak w równaniu prostej \(y = ax + b\).

> ⚠️ **Uwaga:** Znak tangensa zależy od kierunku prostej. Prosta **opadająca** (z lewej do prawej idzie w dół) ma **ujemny** współczynnik kierunkowy, więc \(\operatorname{tg}\alpha < 0\). Jeśli prosta rośnie - \(\operatorname{tg}\alpha > 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\alpha\) nachylenia prostej do osi \(Ox\) jest zawsze mierzony od **dodatniego** kierunku osi \(Ox\) do prostej, **przeciwnie do ruchu wskazówek zegara**. Dla prostej opadającej \(\alpha \in (90°, 180°)\), gdzie tangensa jest ujemna.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy prostej przez \((0,0)\) i punkt
Prosta przez \((0, 0)\) i \(A = (2, -3)\) ma współczynnik kierunkowy:
\[a = \dfrac{-3 - 0}{2 - 0} = -\dfrac{3}{2}.\]
Tangens kąta nachylenia do osi \(Ox\) to właśnie \(a\):
\[\tan\alpha = -\dfrac{3}{2}.\]

### Sposób 2 - Definicja przez współrzędne punktu
Dla prostej przechodzącej przez początek i punkt \(A = (x, y)\):
\[\tan\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{2}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-\tfrac{2}{3}\)** - zamieniono miejsca \(x\) i \(y\) w stosunku.
- **C. \(\tfrac{2}{3}\)** - zły znak + zamiana.
- **D. \(\tfrac{3}{2}\)** - zły znak (powinien być minus).

**Zapamiętaj:** \(\tan\alpha\) = stosunek \(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}\); znak decyduje czy prosta maleje (ujemny) czy rośnie (dodatni).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Obliczenie tangensa nachylenia prostej
1. **Znajdź współrzędne punktu podcięciowego:** Punkt podcięciowy to punkt przecięcia prostej z osią x. Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i punkt A=(2, -3), to prosta jest po prostu linia prosta przechodząca przez te punkty.
2. **Oblicz tangens nachylenia:** Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez dwa punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) jest równy:
\[tg\alpha = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\]
W naszym przypadku: (x₁, y₁) = (2, -3) oraz (x₂, y₂) = (0, 0) (punkt podcięciowy osi x). Zatem:
\[tg\alpha = \frac{0 - (-3)}{0 - 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\]

📖 Karta wzorów: **s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2** (Strona 11)

### Sposób 2: Obliczenie tangensa nachylenia z punktu A
1. **Zdefiniuj współrzędne:** Punkt A ma współrzędne (2, -3).
2. **Oblicz tangens nachylenia:** Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez punkt (x₁, y₁) i oś x (czyli punkt, w którym prosta przecina oś x) jest równy:
\[tg\alpha = \frac{y₁}{x₁} = \frac{-3}{2}\]

📖 Karta wzorów: **s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2** (Strona 11)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. \(tg\alpha = -\)**: To jest nieprecyzyjne. Musimy podać konkretną wartość tangensa.
* **C. \(tg\alpha =\)**: Podobnie jak w A, to nie jest pełna odpowiedź.
* **D. \(tg\alpha =\)**: Podobnie jak w A i C, to nie jest pełna odpowiedź.

W obu sposobach obliczyliśmy tangens nachylenia prostej do osi x, przechodzącej przez punkt A=(2, -3) i początek układu współrzędnych. Dlatego odpowiedź B jest prawidłowa.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30 i przecina oś Oy w punkcie   0 3 , (zobacz rysunek). Prosta l ma równanie A. 3 3 3 y x   
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Dane są punkty o współrzędnych: A = (2, 1), B = (4, 9), C = (-2, 5), D = (8, 5). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest p
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Na rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A=(2,-3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prost
- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie ( ) 0 3 ,- (zobacz rysunek). Prosta l ma równanie A. 3 3 3 y x B. 3

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_