# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym
w punkcie
(
)
2,4
A = -
. Prosta k jest określona równaniem
1
7
4
2
y
x
. Zatem prostą l
opisuje równanie
A.
1
7
4
2
y
x
B.
1
7
4
2
y
x
C.
4
12
y
x
D.
4
12
y
x
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A = (-2,4). Prosta k jest określona równaniem y = -1/4x + 7/2. Zatem prostą l opisuje równanie A. y = 1/4x + 7/2; B. y = -1/4x-7/2; C. y = 4x-12; D. y = 4x+12.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

\(y = 4x + 12\)

## Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych

**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \(k\).**

Prosta \(k\): \(y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{2}\), więc jej współczynnik kierunkowy to:
\[a_k = -\frac{1}{4}\]

**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(l\).**

Dwie proste są prostopadłe, gdy:
\[a_k \cdot a_l = -1\]

Zatem:
\[-\frac{1}{4} \cdot a_l = -1\]
\[a_l = -1 \cdot \left(-4\right) = 4\]

**Krok 3: Wyznacz wyraz wolny prostej \(l\).**

Prosta \(l\) przechodzi przez punkt \(A = (-2, 4)\) i ma współczynnik \(a_l = 4\):
\[y = 4x + b\]

Podstawiamy \(x = -2\), \(y = 4\):
\[4 = 4 \cdot (-2) + b\]
\[4 = -8 + b\]
\[b = 12\]

**Wynik:** \[\boxed{y = 4x + 12}\]

## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie punktu i prostopadłości

Sprawdzamy odpowiedź D: \(y = 4x + 12\).

**Czy prosta \(l\) przechodzi przez \(A = (-2, 4)\)?**
\[4 \cdot (-2) + 12 = -8 + 12 = 4 \checkmark\]

**Czy proste są prostopadłe?**
\[a_k \cdot a_l = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 4 = -1 \checkmark\]

Oba warunki spełnione - odpowiedź D jest poprawna.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej \(l\).

Oraz równanie kierunkowe prostej:
\[y = ax + b\]
gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy - użyliśmy go do zapisania równania prostej \(l\) i wyznaczenia wyrazu wolnego \(b\) z warunku przechodzenia przez punkt \(A\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Zmieniono znak współczynnika kierunkowego na \(+\frac{1}{4}\) zamiast wziąć odwrotność i zmienić znak - prosta \(l\) miałaby \(a_l = \frac{1}{4}\), a wtedy \(\frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{16} \neq -1\), więc proste nie byłyby prostopadłe |
| B | Zostawiono ten sam współczynnik kierunkowy co \(k\) (\(-\frac{1}{4}\)) - proste byłyby równoległe, nie prostopadłe; do tego zmieniono znak wyrazu wolnego |
| C | Poprawnie wyznaczono \(a_l = 4\), ale błędnie policzono wyraz wolny - prawdopodobnie podstawiono \(x = 4\) zamiast \(y = 4\), albo pomylono współrzędne punktu \(A\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \(a_1 \cdot a_2 = -1\), NIE \(a_2 = -a_1\). Prosta prostopadła do \(y = -\frac{1}{4}x + \ldots\) ma współczynnik \(4\), a nie \(\frac{1}{4}\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \(A = (-2, 4)\) - łatwo pomylić kolejność: \(x = -2\), \(y = 4\). Przy podstawianiu do \(y = 4x + b\) wstawiamy \(x = -2\) i \(y = 4\), nie odwrotnie!

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(a_l\) zawsze sprawdź, czy punkt \(A\) leży na prostej \(l\) - to 10-sekundowa weryfikacja, która uchroni przed głupim błędem rachunkowym.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt
Współczynnik kierunkowy \(k\): \(a_k = -\tfrac{1}{4}\).
Współczynnik prostopadłej: \(a_l = -\dfrac{1}{a_k} = -\dfrac{1}{-1/4} = 4\).

Prosta \(l\) przechodzi przez \(A = (-2, 4)\):
\[y - 4 = 4(x - (-2))\]
\[y = 4x + 8 + 4 = 4x + 12.\]

### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi
Każda opcja ma współczynnik kierunkowy:
- A: \(\tfrac{1}{4}\) - \(a_k\cdot a_l = -\tfrac{1}{16}\) ≠ -1 → nie prostopadłe
- B: \(-\tfrac{1}{4}\) - ta sama co k, więc równoległe (lub identyczne)
- C: \(4\) - \(a_k\cdot a_l = -1\) ✓ prostopadłe; sprawdzamy punkt \(A = (-2, 4)\): \(4\cdot(-2) - 12 = -20\ne 4\) ✗
- D: \(4\) - prostopadłe; sprawdzamy: \(4\cdot(-2) + 12 = 4\) ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Nie prostopadłe.
- **B.** Równoległe (ta sama skala).
- **C.** Prostopadłe, ale nie przechodzi przez \(A\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Użycie wzoru na kierunek i odległość między prostymi

1. **Zrozumienie problemu:** Mamy dwie proste, k i l, które przecinają się w punkcie A. Prosta k jest dana równaniem y = -x + i musimy znaleźć równanie prostej l. Wiadomo, że proste przecinają się pod kątem prostym.

2. **Współczynniki kierunkowe:** Prosta k ma równanie y = -x + , więc jej współczynnik kierunkowy to m₁ = -1. Ponieważ proste przecinają się pod kątem prostym, współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest odwrotnością m₁: m₂ = -1/m₁ = -1/(-1) = 1.

3. **Współrzędna punktu przecięcia:** Punkt przecięcia prostych to A = (-2, 4).

4. **Równanie prostej l:** Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.
Zatem: y - 4 = 1(x - (-2))
y - 4 = x + 2
y = x + 6

5. **Porównanie z odpowiedziami:** Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B. W zadaniu pytano o równanie prostej l, a otrzymaliśmy równanie prostej l.

📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4

### Sposób 2: Użycie wzoru na odległość między punktem a prostą i wzoru na kierunek prostej

1. **Wzór na odległość punktu od prostej:** Odległość (d) punktu A(-2, 4) od prostej k (y = -x + ) jest równa zeru, ponieważ proste przecinają się w punkcie A. Wzór na odległość punktu od prostej:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
gdzie prosta k ma równanie Ax + By + C = 0. Przekształcamy równanie prostej k: x + y - 4 = 0. Zatem A = 1, B = 1, C = -4, x₀ = -2, y₀ = 4.
d = |1*(-2) + 1*(4) - 4| / √(1² + 1²) = | -2 + 4 - 4 | / √2 = |-2| / √2 = 2/√2 = √2

2. **Wzór na kierunek prostej przecinającej punkt pod kątem prostym:** Prosta l przecina prostą k pod kątem prostym w punkcie A. Współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest równy -1/m₁, gdzie m₁ to współczynnik kierunkowy prostej k. W naszym przypadku m₁ = -1, więc m₂ = 1.

3. **Równanie prostej l:** Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.
Zatem: y - 4 = 1(x - (-2))
y - 4 = x + 2
y = x + 6

4. **Porównanie z odpowiedziami:** Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B.

📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. y = -x + :** To jest równanie prostej k, a nie prostej l.
* **C. y = 4x - 12:** To równanie prostej nie ma nic wspólnego z danymi w zadaniu.
* **B. y = -x + 6:** To jest prawidłowe równanie prostej l.

Wszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunków zadania (przecinają się pod kątem prostym w punkcie A i mają podane równania).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_