# Matematyka — zadanie 2 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/2 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności ## Treść Zadanie 1. (0-1) Liczba 9 2 4 7 jest równa A. 4 B. 10 C. 10 D. 4 Liczba |9-2| - |4-7| jest równa A. 4, B. 10, C. -10, D. -4. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(2\sqrt[3]{2}\) ## Sposób 1 - wyłączenie przed pierwiastek **Kluczowy pomysł:** wyciągamy wspólny czynnik \(\sqrt[3]{2}\) przed nawias. Zaczynamy od rozkładu \(\sqrt[3]{54}\). Szukamy, jak wyrazić 54 przez 2: \[54 = 27 \cdot 2\] Zatem: \[\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\] Teraz podstawiamy do wyrażenia: \[\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}\] Wyłączamy \(\sqrt[3]{2}\) przed nawias: \[= \sqrt[3]{2}\,(3 - 1) = \mathbf{2\sqrt[3]{2}}\] ## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna Sprawdzamy, że \(2\sqrt[3]{2}\) to naprawdę wartość wyrażenia. \[\sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\] Lewa strona: \[\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} \approx 3{,}7798 - 1{,}2599 = 2{,}5199\] Prawa strona: \[2\sqrt[3]{2} \approx 2 \cdot 1{,}2599 = 2{,}5198\] Zgadza się ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka z iloczynu: \[\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\] Użyliśmy tego w Sposobie 1, rozkładając \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2}\). Dodatkowo skorzystaliśmy z faktu, że \(\sqrt[3]{27} = 3\), bo \(3^3 = 27\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A - \(\sqrt[3]{52}\) | Odjęto liczby pod pierwiastkiem: \(\sqrt[3]{54-2} = \sqrt[3]{52}\). **Pierwiastki NIE odejmują się tak!** \(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} \neq \sqrt[3]{a-b}\) | | B - \(3\) | Pomylono \(\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2}\) z \(\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{27} = 3\). To byłoby dzielenie, nie odejmowanie | | D - \(2\) | Prawidłowy współczynnik \(2\) wyciągnięty, ale zgubiono czynnik \(\sqrt[3]{2}\). Błąd: wpisano sam wynik \((3-1) = 2\) bez przemnożenia przez \(\sqrt[3]{2}\) | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastki NIE odejmują się "pod spodem" - \(\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} \neq \sqrt[3]{52}\). Ta pułapka jest ustawiona specjalnie jako odpowiedź A. > ⚠️ **Uwaga:** Żeby dodawać/odejmować wyrażenia z pierwiastkami, muszą mieć **ten sam czynnik pod pierwiastkiem** - dopiero wtedy wyłączamy go i działamy na współczynnikach. Tu kluczem było rozbicie 54 = 27 · 2. > ⚠️ **Uwaga:** Warto zapamiętać sześciany liczb: \(1^3=1\), \(2^3=8\), \(3^3=27\), \(4^3=64\), \(5^3=125\) - to przyspiesza rozkład liczby pod pierwiastkiem sześciennym. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Rozkład \(54\) na czynniki \(54 = 27 \cdot 2\), a \(27 = 3^3\): \[\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = \sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}.\] Zatem: \[\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}.\] ### Sposób 2 - Wyłączanie wspólnego czynnika \[\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{27} - 1) = \sqrt[3]{2}\cdot(3-1) = 2\sqrt[3]{2}.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\sqrt[3]{52}\)** - błąd: \(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} \ne \sqrt[3]{a-b}\). To ZŁE prawo. - **B. \(3\)** - ktoś obliczył \(\sqrt[3]{54} \approx 3{,}78\), odjął \(\sqrt[3]{2}\approx 1{,}26\), zaokrąglił. - **D. \(2\)** - pominięto pierwiastek sześcienny z 2. **Pułapka:** pierwiastek **nie jest** liniowy - można wyciągnąć wspólny czynnik tylko gdy obie liczby pod pierwiastkiem są jednakowego typu. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1: Użycie logarytmu o podstawie 2 1. **Zapisanie wyrażenia:** Chcemy obliczyć \( \log_2(25) \). Możemy to zapisać jako \( \log_2(5^2) \). 2. **Zastosowanie własności logarytmów:** Korzystając z własności logarytmów, możemy wyeksponować 5: \( \log_2(5^2) = 2 \log_2(5) \). 3. **Ostateczny wynik:** Zatem \( \log_2(25) = 2 \log_2(5) \). Wybór odpowiedzi C jest więc poprawny. \[ \log_2(25) = \log_2(5^2) = 2 \log_2(5) \] 📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, log(xy)=logx+logy, log(x^r)=r·logx, strona 13 ### Sposób 2: Użycie silni i wzoru na logarytm silni 1. **Zapisanie silni:** \( \log_2(25) = \log_2(5!) \) 2. **Zastosowanie wzoru na logarytm silni:** Wzór na logarytm silni to \( \log_2(n!) = \sum_{k=1}^{n} \log_2(k) \). W naszym przypadku \( \log_2(5!) = \log_2(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \) 3. **Obliczenie sumy logarytmów:** \( \log_2(5!) = \log_2(1) + \log_2(2) + \log_2(3) + \log_2(4) + \log_2(5) \) 4. **Wartości logarytmów:** \( \log_2(1) = 0, \log_2(2) = 1, \log_2(4) = 2, \log_2(5) \) jest liczbą rzeczywistą, którą musimy obliczyć. Możemy to zrobić, używając definicji logarytmu: \( 2^{\log_2(5)} = 5 \). 5. **Ostateczny wynik:** \( \log_2(5!) = 0 + 1 + \log_2(3) + 2 + \log_2(5) = 3 + \log_2(3) + \log_2(5) = 3 + \log_2(15) \). Ponieważ \( \log_2(25) = 2 \log_2(5) \), to \( \log_2(5) = \frac{1}{2} \log_2(25) \). Wybór odpowiedzi C jest więc poprawny. \[ \log_2(25) = \log_2(5!) = \log_2(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_2(1) + \log_2(2) + \log_2(3) + \log_2(4) + \log_2(5) = 0 + 1 + \log_2(3) + 2 + \log_2(5) = 3 + \log_2(3) + \log_2(5) \] 📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 13 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. log2 25:** To jest po prostu logarytm z 25, a nie logarytm z 5! * **B. log2 5:** To jest część wyniku, ale nie jest to wynik końcowy. * **D. log2 25:** Podobnie jak A, to jest logarytm z 25, a nie z 5!. Podsumowując, sposób 1 jest prostszy i bardziej bezpośredni, a sposób 2 pokazuje, jak użyć silni i logarytmów do rozwiązania tego zadania. W obu przypadkach odpowiedź C jest prawidłowa. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/2) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F2) ## Podobne zadania - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Liczba √5√5 jest równa A. 5 1 4 B. 5 1 2 C. 5 3 4 D. 5 - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/5) — Zadanie 5. (0-1) Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D. Wyrażenie √8 - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2308/zad/6) — \(3^{-1}\) Wartość wyrażenia -2 ∙81 jest równa (-[1] 9 ) A.[1] B. C. 3 D. (-3) 3 (- \(3^{1}\) ) A. \(\dfrac{1}{3}\) B. \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)\) C. \(3\) D - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Rozważamy przedziały liczbowe (-∞, 5) i ⟨-1, +∞). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedział _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_