# Matematyka — zadanie 20 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/20 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 20. (0-1) Dany jest okrąg o środku ( ) 2,3 S = i promieniu 5 r = . Który z podanych punktów leży na tym okręgu? A. ( ) 1,7 A = - B. ( ) 2, 3 B = C. ( ) 3,2 C = D. ( ) 5,3 D = Dany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu? A. A=(-1,7; B. B=(2,-3); C. C=(3,2); D. D=(5,3). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - punkt \(A = (-1, 7)\) ## Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od środka Punkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego **odległość od środka okręgu równa się promieniowi**. Sprawdzamy każdy punkt. Używamy wzoru na odległość między dwoma punktami: \[d = \sqrt{(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2}\] Środek to \(S = (2, 3)\), promień \(r = 5\). **Punkt A = (-1, 7):** \[d = \sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] \(d = 5 = r\) ✓ - **punkt A leży na okręgu!** Dla porządku sprawdzamy pozostałe: **Punkt B = (2, -3):** \[d = \sqrt{(2-2)^2 + (-3-3)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6 \neq 5\] **Punkt C = (3, 2):** \[d = \sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \neq 5\] **Punkt D = (5, 3):** \[d = \sqrt{(5-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3 \neq 5\] **Odpowiedź: A** ## Sposób 2 - Podstawienie do równania okręgu Równanie okręgu o środku \(S = (a, b)\) i promieniu \(r\): \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\] Dla naszego okręgu: \[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\] Punkt leży **na okręgu**, jeśli po podstawieniu jego współrzędnych dostaniemy równanie **prawdziwe** (lewa strona = 25). | Punkt | Podstawienie | Wynik | | \(A(-1,7)\) | \((-1-2)^2 + (7-3)^2 = 9 + 16\) | \(= 25\) ✓ | | \(B(2,-3)\) | \((2-2)^2 + (-3-3)^2 = 0 + 36\) | \(= 36 \neq 25\) | | \(C(3,2)\) | \((3-2)^2 + (2-3)^2 = 1 + 1\) | \(= 2 \neq 25\) | | \(D(5,3)\) | \((5-2)^2 + (3-3)^2 = 9 + 0\) | \(= 9 \neq 25\) | Tylko punkt \(A\) spełnia równanie okręgu. **Odpowiedź: A** ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):** Równanie okręgu o środku \(S = (a, b)\) i promieniu \(r\) (postać kanoniczna): \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\] Użyliśmy go w Sposobie 2 - podstawiając współrzędne punktów i sprawdzając, czy lewa strona daje \(r^2 = 25\). Wzór na długość odcinka (odległość między punktami): \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Użyliśmy go w Sposobie 1 - licząc odległość każdego punktu od środka. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | Obliczenie prowadzące do błędu | | B | Mylenie znaku - punkt \((2, -3)\) wygląda "symetrycznie" do środka \((2, 3)\), ale leży **wewnątrz** okręgu dopiero po sprawdzeniu: \(d = 6 \neq 5\) | \(\sqrt{0 + 36} = 6\) | | C | Zamiana kolejności współrzędnych - punkt \((3, 2)\) to "odwrócony" środek \((2, 3)\); \(d = \sqrt{2} \approx 1{,}41\), leży **blisko środka** | \(\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) | | D | Mylenie odcięcia punktu z promieniem - \(D = (5, 3)\) ma \(x = 5\), co kojarzy się z \(r = 5\), ale odległość od środka to tylko \(3\) | \(\sqrt{9 + 0} = 3\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy, żeby jedna współrzędna punktu różniła się od środka o \(r\). Np. punkt \(D = (5, 3)\) jest oddalony od \(S\) tylko o \(3\) w poziomie - a obie współrzędne muszą "składać się" na odległość \(5\) (twierdzenie Pitagorasa!). > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kwadracie promienia - porównujesz \((x-a)^2 + (y-b)^2\) z \(r^2 = 25\), nie z \(r = 5\). Wielu uczniów porównuje z \(5\) zamiast \(25\). > ⚠️ **Uwaga:** Punkt leżący **wewnątrz** okręgu daje \((x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2\), a **na zewnątrz** - \(> r^2\). To przydaje się w zadaniach o położeniu punktu względem okręgu. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od \(S\) Punkt leży na okręgu \(\iff\) jego odległość od środka = promień. - \(A = (-1, 7)\): \(d_A = \sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\) ✓ - \(B = (2, -3)\): \(d_B = \sqrt{0 + 36} = 6\) ✗ - \(C = (3, 2)\): \(d_C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) ✗ - \(D = (5, 3)\): \(d_D = \sqrt{9 + 0} = 3\) ✗ Tylko **A** ma odległość równą \(5 = r\). ### Sposób 2 - Równanie okręgu \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 25\). - \(A\): \((-3)^2 + 4^2 = 9+16 = 25\) ✓ - \(B\): \(0 + 36 = 36 \ne 25\) ✗ - \(C\): \(1 + 1 = 2 \ne 25\) ✗ - \(D\): \(9 + 0 = 9 \ne 25\) ✗ ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne Pozostałe punkty nie spełniają równania okręgu - są albo **w** nim (odległość mniejsza od r), albo **poza** nim. **Standardowy trik (3-4-5):** \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\) - typowy trójkąt pitagorejski. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Obliczenie odległości punktu od środka okręgu Aby sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, musimy obliczyć odległość między tym punktem a środkiem okręgu i porównać ją z promieniem okręgu. 1. **Zidentyfikuj współrzędne:** Punkt A ma współrzędne (-1, 7), a środek okręgu S ma współrzędne (2, 3). 2. **Użyj wzoru na odległość:** Odległość między dwoma punktami (x₁, y₁) i (x₂, y₂) w układzie współrzędnych kartezjańskim jest obliczana za pomocą wzoru: \[d = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}\] 3. **Oblicz odległość AS:** \[AS = \sqrt{(2 - (-1))² + (3 - 7)²} = \sqrt{(2 + 1)² + (3 - 7)²} = \sqrt{3² + (-4)²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] 4. **Porównaj z promieniem:** Promień okręgu r = 5. Ponieważ AS = 5, punkt A leży na okręgu. 📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona s.22 ### Sposób 2: Użycie równania okręgu Okrąg o środku S(2,3) i promieniu r=5 ma równanie: \[(x-2)² + (y-3)² = 5² = 25\] Podstawiamy współrzędne punktu A(-1, 7) do równania okręgu: \[(-1 - 2)² + (7 - 3)² = (-3)² + (4)² = 9 + 16 = 25\] Ponieważ równanie jest spełnione, punkt A leży na okręgu. 📖 Karta wzorów: s.18, Wycinek: P=πr², strona s.18 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. (2, -3):** Obliczając odległość punktu (2, -3) od środka (2, 3), otrzymujemy: \[\sqrt{(2-2)² + (-3-3)²} = \sqrt{0 + (-6)²} = \sqrt{36} = 6\] Co jest różne od promienia 5, więc punkt B nie leży na okręgu. * **C. (3, 2):** Obliczając odległość punktu (3, 2) od środka (2, 3), otrzymujemy: \[\sqrt{(3-2)² + (2-3)²} = \sqrt{1² + (-1)²} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\] Co jest różne od promienia 5, więc punkt C nie leży na okręgu. * **D. (7, 3):** Obliczając odległość punktu (7, 3) od środka (2, 3), otrzymujemy: \[\sqrt{(7-2)² + (3-3)²} = \sqrt{5² + 0} = \sqrt{25} = 5\] Co jest równe promieniowi 5, więc punkt D *może* leżeć na okręgu, ale w tym przypadku, jak pokazano w sposobie 1, punkt A jest prawidłową odpowiedzią. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/20) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F20) ## Podobne zadania - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_