# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 21. (0-1)
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym
wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź
podstawy tego graniastosłupa jest równa
A.
10
B. 3 10
C.
42
D. 3 42

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa A. √10; B. 3√10; C. √42; D. 3√42.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(\sqrt{10}\)

## Sposób 1 - Podstawienie i równanie algebraiczne

**Oznaczamy:** krawędź podstawy = \(a\), wysokość = \(h\).

Z treści zadania: \(h = 3a\).

Graniastosłup prawidłowy czworokątny = graniastosłup o podstawie **kwadratu** o boku \(a\).

Pole powierzchni całkowitej:
\[P_c = 2 \cdot P_\text{podstawy} + P_\text{boczna}\]

- Pole jednej podstawy (kwadrat): \(P_p = a^2\)
- Obwód podstawy: \(4a\)
- Pole powierzchni bocznej: \(P_b = \text{obwód} \cdot h = 4a \cdot 3a = 12a^2\)

Zatem:
\[P_c = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\]

Przyrównujemy do \(140\):
\[14a^2 = 140\]
\[a^2 = 10\]
\[\boxed{a = \sqrt{10}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, czy \(a = \sqrt{10}\) i \(h = 3\sqrt{10}\) dają \(P_c = 140\):

- Pole jednej podstawy: \((\sqrt{10})^2 = 10\)
- Dwie podstawy: \(2 \cdot 10 = 20\)
- Pole boczne: \(4 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} = 12 \cdot 10 = 120\)
- Suma: \(20 + 120 = 140\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:
\[P_c = P_b + 2P_p, \quad P_b = O_b \cdot h\]
gdzie \(O_b\) to obwód podstawy, \(h\) to wysokość graniastosłupa. Użyliśmy tego bezpośrednio do zbudowania równania na \(a\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| **B** \(3\sqrt{10}\) | Poprawnie wyznaczono \(a = \sqrt{10}\), ale podano **wysokość** \(h = 3a = 3\sqrt{10}\) zamiast krawędzi podstawy |
| **C** \(\sqrt{42}\) | Odwrócono zależność: przyjęto \(a = 3h\) (krawędź 3 razy dłuższa od wysokości) zamiast \(h = 3a\) - wtedy \(P_c = 2a^2 + 4a \cdot \frac{a}{3} = \frac{10a^2}{3} = 140\), skąd \(a^2 = 42\) |
| **D** \(3\sqrt{42}\) | Ten sam błąd co w C (odwrócona zależność), ale dodatkowo podano **wysokość** \(h = 3 \cdot \sqrt{42}\) zamiast krawędzi |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** "Wysokość 3 razy dłuższa od krawędzi" oznacza \(h = 3a\), **nie** \(a = 3h\)! To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi C.

> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to \(O_b \cdot h\), gdzie \(O_b = 4a\) (obwód kwadratu). Łatwo zapomnieć o czynniku \(4\) i użyć samego \(a\) zamiast \(4a\).

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(a^2 = 10\) upewnij się, że podajesz **krawędź podstawy** \(a = \sqrt{10}\), a nie wysokość \(h = 3\sqrt{10}\) - zadanie pyta o krawędź, nie o wysokość!

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wzór na pole powierzchni
Oznaczmy krawędź podstawy (kwadrat) \(a\) i wysokość \(h = 3a\).

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:
\[P_c = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + 4a\cdot 3a = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2.\]

Z warunku \(P_c = 140\):
\[14a^2 = 140 \Rightarrow a^2 = 10 \Rightarrow a = \sqrt{10}.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
Podstawiamy do wzoru \(P_c = 14a^2\):
- A: \(a = \sqrt{10}\), \(P_c = 14\cdot 10 = 140\) ✓
- B: \(a = 3\sqrt{10}\), \(P_c = 14\cdot 90 = 1260\) ✗
- C: \(a = \sqrt{42}\), \(P_c = 14\cdot 42 = 588\) ✗
- D: \(a = 3\sqrt{42}\), \(P_c = 14\cdot 9\cdot 42 = 5292\) ✗

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B, D** - zbyt duża wartość \(a\).
- **C** - inne złe założenie.

**Kluczowe:** pole powierzchni całkowitej = 2 podstawy + 4 ściany boczne (dla prawidłowego czworokątnego).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania
1. **Obliczenie pola powierzchni podstawy:** Graniastosłup jest czworokątny, więc jego podstawy to kwadraty. Krawędź podstawy, oznaczmy ją przez *a*, ma długość 140. Pole podstawy to \(a^2 = 140^2 = 19600\).
2. **Obliczenie pola powierzchni bocznej:** Wysokość graniastosłupa to 3 razy krawędź podstawy, czyli \(h = 3 \cdot 140 = 420\). Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \(P_b = P_{podst} \cdot 4 = 19600 \cdot 4 = 78400\).
3. **Obliczenie całkowitej powierzchni:** Całkowita powierzchnia graniastosłupa to suma pola powierzchni podstaw i pola powierzchni bocznej: \(P_{całkowita} = P_{podst} + P_b = 19600 + 78400 = 98000\).
4. **Rozwiązanie równania:** Pole powierzchni całkowitej jest dane wzorem \(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah\), gdzie *a* to krawędź podstawy, a *h* to wysokość. Zatem \(98000 = 2a^2 + 4ah\). Podstawiamy \(h = 3a\): \(98000 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\). Dzielimy przez 14: \(a^2 = \frac{98000}{14} = 7000\). Zatem \(a = \sqrt{7000} = \sqrt{100 \cdot 70} = 10\sqrt{70}\). To jest błędne. Powinno być a=√7000.

W tym przypadku, podano, że pole powierzchni całkowitej wynosi 140, więc musimy obliczyć krawędź podstawy, korzystając z podanego wzoru:
\(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah = 140\)
Podstawiamy \(h = 3a\):
\(140 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\)
\(a^2 = \frac{140}{14} = 10\)
\(a = \sqrt{10}\)

📖 Karta wzorów: s.4, strona 1
### Sposób 2: Użycie wzoru na pole powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania
1. **Wzór na pole powierzchni graniastosłupa:** Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \(P = 2a^2 + 4ah\), gdzie *a* to długość krawędzi podstawy, a *h* to wysokość graniastosłupa.
2. **Podstawienie danych:** Z treści zadania wiemy, że \(P = 140\), \(h = 3a\). Podstawiamy te wartości do wzoru: \(140 = 2a^2 + 4a(3a)\).
3. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** \(140 = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\). Dzielimy obie strony przez 14: \(a^2 = 10\). Wyciągamy pierwiastek z obu stron: \(a = \sqrt{10}\).

📖 Karta wzorów: s.4, strona 1

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **B. \(3\sqrt{10}\):** Obliczona krawędź podstawy to \(\sqrt{10}\), więc ta odpowiedź jest poprawna.
* **C. \(\sqrt{42}\):** To jest pierwiastek kwadratowy z 42, a nie krawędź podstawy.
* **D. \(2\sqrt{26}\):** To jest pierwiastek kwadratowy z 26, a nie krawędź podstawy.

Wszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie spełniają warunków zadania, a prawidłowa odpowiedź to \( \sqrt{10}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_