# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Stereometria, trygonometria ## Treść Zadanie 22. (0-1) Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy A. √3/2; B. √2/2; C. 1/2; D. 1. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z danych walca **Identyfikujemy trójkąt OAS z rysunku.** W walcu: - \(S\) - środek podstawy - \(A\) - punkt na okręgu podstawy - \(O\) - punkt nad środkiem podstawy (na osi walca, na górnej podstawie) Z treści zadania: **promień podstawy = wysokość walca**, czyli: \[|AS| = r, \quad |OS| = h = r \implies |AS| = |OS|\] Kąt \(\angle OSA = 90°\), bo \(OS\) to oś walca (pionowa), a \(AS\) to promień podstawy (poziomy) - są prostopadłe. **Obliczamy \(|OA|\) z twierdzenia Pitagorasa:** \[|OA| = \sqrt{|AS|^2 + |OS|^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}\] **Szukamy \(\sin(\angle OAS)\)** - kąt przy wierzchołku \(A\), czyli: \[\sin(\angle OAS) = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{|OS|}{|OA|} = \frac{r}{r\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\] \[\boxed{\sin(\angle OAS) = \frac{\sqrt{2}}{2}}\] ## Sposób 2 - Przez tangens i jedynkę trygonometryczną W trójkącie prostokątnym \(OAS\) (kąt prosty przy \(S\)): \[\operatorname{tg}(\angle OAS) = \frac{|OS|}{|AS|} = \frac{r}{r} = 1\] Zatem \(\angle OAS = 45°\). Ze tablicy wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 34): \[\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Wynik zgodny z Metodą 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy go do wyznaczenia \(|OA|\) jako przekątnej trójkąta prostokątnego \(OAS\). **Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\] Bezpośrednio zastosowana przy obliczeniu \(\sin(\angle OAS)\). **Dział 17 (Tablica wartości, s. 34)** - \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - przydatne w Sposobie 2. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A - \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | Kojarzenie z kątem \(60°\), np. z trójkąta równobocznego - tu nie ma żadnego kąta \(60°\) | | C - \(\frac{1}{2}\) | Policzenie \(\sin(\angle OAS) = \frac{|AS|}{|OA|}\) zamiast \(\frac{|OS|}{|OA|}\) - zamiana przyprostokątnych | | D - \(1\) | Błędne przyjęcie \(|OA| = |OS| = r\) (pominięcie twierdzenia Pitagorasa) lub myląca interpretacja, że kąt \(OAS = 90°\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest przy **\(S\)**, nie przy \(A\)! Nie mylić wierzchołka kąta szukanego z wierzchołkiem kąta prostego. > ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu sinusa kąta przy \(A\) - przyprostokątna **naprzeciwległa** to \(|OS|\), a nie \(|AS|\). Uczniowie często tu zamieniają boki. > ⚠️ **Uwaga:** Informacja „promień równa się wysokości" służy tylko do ustalenia, że trójkąt \(OAS\) jest **równoramienny prostokątny** (czyli kąty przy podstawie to \(45°\)). Sam stosunek długości wystarczy - nie potrzeba konkretnej wartości \(r\). **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \(OAS\) W trójkącie \(OAS\): \(AS\) to promień podstawy, \(OS\) - wysokość walca, \(OS \perp AS\) (bo wysokość walca prostopadła do płaszczyzny podstawy). Z warunku \(|AS| = |OS|\) - trójkąt jest **równoramienny prostokątny** (45-45-90). Przeciwprostokątna: \[|OA| = \sqrt{|AS|^2 + |OS|^2} = \sqrt{2}\cdot|AS|.\] \[\sin(\angle OAS) = \dfrac{|OS|}{|OA|} = \dfrac{|AS|}{\sqrt{2}|AS|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\] ### Sposób 2 - Rozpoznanie kąta \(45^\circ\) Równoramienny trójkąt prostokątny ma kąty \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\). Zatem \(\angle OAS = 45^\circ\) i \(\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)** - \(\sin 60^\circ\); dotyczyłoby trójkąta 30-60-90. - **C. \(\tfrac{1}{2}\)** - \(\sin 30^\circ\). - **D. \(1\)** - \(\sin 90^\circ\); to byłby kąt prosty, nie ostry. **Rozpoznanie:** dwie równe przyprostokątne → trójkąt 45-45-90. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1: Geometria trójkąta i trygonometria W tym przypadku korzystamy z trójkąta prostokątnego OAS, gdzie kąt OAS jest ostry. Wiemy, że AS jest promieniem podstawy walca, a OS jest wysokością walca. Zatem, AS = OS. To oznacza, że trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym w wierzchołku O, gdzie kąt OAS jest ostry. Ponieważ AS jest promieniem podstawy, to OA = AS. Zatem trójkąt OAS jest trójkątem równoramiennym, w którym OA = AS. W takim trójkącie, kąt OAB (lub kąt OAS) jest równy 30 stopni (ponieważ kąt OAB jest ostry i OA = AS). W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwległej strony do przeciwprostokątnej. Zatem: sin(OAS) = sin(30°) = \( \frac{OA}{OS} \) Ponieważ OA = AS, to: \( \frac{AS}{OS} = \frac{1}{2} \) Zatem: \( \sin(OAS) = \frac{1}{2} \) Dlatego odpowiedź to B. 📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg) ### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta prostokątnego i definicji sinusa Z rysunku widzimy, że trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym w punkcie O. Ponieważ AS jest promieniem podstawy walca, to AS = r. Wysokość walca, OS, jest równa promieniowi podstawy, czyli OS = r. Zatem trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt OAS jest ostry. W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwległej strony do przeciwprostokątnej. W tym przypadku, sin(OAS) = \( \frac{OS}{OA} \) Ponieważ AS = r i OS = r, to: \( \sin(OAS) = \frac{r}{OA} \) Zauważmy, że \( \sin(OAS) = \frac{1}{2} \) Zatem: \( \frac{r}{OA} = \frac{1}{2} \) \( OA = 2r \) W trójkącie prostokątnym, \( OA^2 = OS^2 + AS^2 \) \( (2r)^2 = r^2 + r^2 \) \( 4r^2 = 2r^2 \) \( 2r^2 = 0 \) \( r = 0 \) Co jest niemożliwe, ponieważ r to promień podstawy. Zatem, musimy wrócić do definicji sinusa i zauważyć, że \( \sin(OAS) = \frac{OS}{OA} = \frac{1}{2} \) Dlatego odpowiedź to B. 📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg) ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A:** Nie ma związku z danymi w zadaniu. * **C:** Nie ma związku z danymi w zadaniu. * **D:** Nie ma związku z danymi w zadaniu. W zadaniu podano, że sinus kąta OAS jest równy 1/2, a nie 1. Wzór na sinus kąta w trójkącie prostokątnym wymaga, aby stosunek przeciwległego boku do przyprostokątnej był równy 1/2. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 29.1](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29.1) — Zadanie 29.1. (0-1) Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu. Objętość tego ostrosłupa jest równa - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (1 pkt) Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy A. 5 2 B. 2 5 5 C. 1 2 D. 1 - [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek P - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/14) — Zadanie 14. (0-1) Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 2 cm × 2 cm × 9 cm, przyklejono do metalowej płytki w spo _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_