# Matematyka — zadanie 23 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/23 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Stereometria ## Treść Zadanie 23. (0-1) Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa A. 576π B. 192π C. 144π D. 48π Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa A. 576π, B. 192π, C. 144π, D. 48π. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(48\pi\) ## Sposób 1 - wzór na objętość stożka **Co wiemy z treści zadania:** - wysokość stożka: \(h = 4\) - średnica podstawy: \(d = 12\), więc **promień** \(r = \frac{12}{2} = 6\) **Uwaga:** zadanie podaje *średnicę*, nie promień - to klasyczna pułapka! Wzór na objętość stożka: \[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\] Podstawiamy \(r = 6\), \(h = 4\): \[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 4\] \[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 4\] \[V = \frac{1}{3} \cdot 144\pi\] \[\boxed{V = 48\pi}\] ## Sposób 2 - krok po kroku z kolejnością działań Można też liczyć stopniowo, żeby nie pogubić się w mnożeniu: Pole podstawy (koło o promieniu \(r = 6\)): \[P_p = \pi r^2 = \pi \cdot 36 = 36\pi\] Objętość stożka to \(\frac{1}{3}\) objętości walca o tej samej podstawie i wysokości: \[V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36\pi \cdot 4 = \frac{144\pi}{3} = 48\pi\] **Wynik:** \(V = 48\pi\) ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka: \[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\] gdzie \(r\) - promień podstawy, \(h\) - wysokość stożka. Wzór znajdziesz w tabeli brył obrotowych, obok walca i kuli. Pamiętaj, że \(r\) to **promień**, a nie średnica! ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A - \(576\pi\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\(r = 12\)) i zapomniano o czyniku \(\frac{1}{3}\): \(\pi \cdot 12^2 \cdot 4 = 576\pi\) | | B - \(192\pi\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\(r = 12\)), ale pamiętano o \(\frac{1}{3}\): \(\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 144 \cdot 4 = 192\pi\) | | C - \(144\pi\) | Użyto poprawnego promienia \(r = 6\), ale zapomniano o czyniku \(\frac{1}{3}\): \(\pi \cdot 36 \cdot 4 = 144\pi\) | | D - \(48\pi\) | ✓ Poprawnie: \(r = 6\), \(\frac{1}{3}\) uwzględnione | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje **średnicę** (\(d = 12\)), a wzór wymaga **promienia** (\(r = 6\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - prowadzi do odpowiedzi B. > ⚠️ **Uwaga:** Objętość stożka to \(\frac{1}{3}\) objętości walca - czynnik \(\frac{1}{3}\) jest kluczowy. Jego pominięcie daje odpowiedź C (\(144\pi\)). > ⚠️ **Uwaga:** Połączenie obu błędów (zły promień + brak \(\frac{1}{3}\)) daje odpowiedź A (\(576\pi\)) - wynik aż 12 razy za duży! **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Wzór na objętość stożka Średnica = \(12\) → promień \(r = 6\). Wysokość \(h = 4\). \[V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 36\cdot 4 = \dfrac{144}{3}\pi = 48\pi.\] ### Sposób 2 - Krok po kroku 1. \(r = \tfrac{d}{2} = 6\). 2. \(r^2 = 36\). 3. \(\pi r^2 h = 36\cdot 4\pi = 144\pi\) (objętość walca o tych samych wymiarach). 4. \(V_{\text{stożek}} = \tfrac{1}{3}\cdot 144\pi = 48\pi\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(576\pi\)** - wzięto \(d^2\) zamiast \(r^2\), czyli \(\tfrac{1}{3}\cdot 144\cdot 4\pi\). - **B. \(192\pi\)** - pomnożono \(48\cdot 4\); błąd w odczytaniu. - **C. \(144\pi\)** - objętość **walca** o tych samych wymiarach, bez \(\tfrac{1}{3}\). **Klasyczna pułapka:** używanie średnicy zamiast promienia we wzorze. Zawsze \(r = \tfrac{d}{2}\). **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1: Obliczenie objętości stożka ze wzoru W tym przypadku najprościej jest zastosować wzór na objętość stożka: V = (1/3) * π * r² * h Gdzie: * V - objętość stożka * π - liczba pi (około 3.14159) * r - promień podstawy stożka * h - wysokość stożka Z treści zadania wiemy, że średnica podstawy wynosi 12, więc promień r = 6. Wysokość stożka h = 4. Podstawiając te wartości do wzoru: V = (1/3) * π * 6² * 4 V = (1/3) * π * 36 * 4 V = (1/3) * 144π V = 48π 📖 Karta wzorów: s.18: Pole trójk, strona 18 ### Sposób 2: Przekształcenie danych i zastosowanie wzoru Możemy też wykorzystać twierdzenie Pitagorowe do obliczenia wysokości stożka, jeśli chcemy użyć innego podejścia. Wysokość stożka to odległość od wierzchołka stożka do środka podstawy. Promień podstawy to 6, a wysokość stożka to 4. Z twierdzenia Pitagorowego: h² + r² = (d/2)² gdzie d to średnica podstawy. W naszym przypadku: 4² + 6² = (12/2)² 16 + 36 = 6² 52 = 36 - To jest błąd, co sugeruje, że nie możemy użyć tego podejścia w ten sposób. Zatem, musimy użyć pierwszego sposobu. 📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. \(576\pi\)** - To wynik nieprawidłowego zastosowania wzoru na objętość. Wzór na objętość stożka to (1/3)πr²h, a nie inne wyrażenie. * **B. \(192\pi\)** - Podobnie jak A, to wynik nieprawidłowego obliczenia. * **C. \(144\pi\)** - Również nieprawidłowy wynik. * **D. \(48\pi\)** - To jest poprawny wynik, który otrzymaliśmy, używając wzoru na objętość stożka. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/23) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F23) ## Podobne zadania - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie - [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_