# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 25. (0-1)
Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę.
Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy
prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
8
D. 1
6
A
O
S

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/4; B. 1/3; C. 1/8; D. 1/6.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(\dfrac{1}{3}\)

## Sposób 1 - Wylistowanie dzielników liczby 24

**Od czego zaczynamy:** Zdarzenie A to "wylosowana liczba jest dzielnikiem 24". Musimy policzyć, ile liczb spośród \(\{1, 2, \ldots, 24\}\) dzieli 24 bez reszty.

**Rozkład na czynniki pierwsze:**
\[24 = 2^3 \cdot 3^1\]

**Wylistujmy wszystkie dzielniki 24** - systematycznie, od najmniejszego:

\[1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\]

Sprawdzenie: \(24 \div 1 = 24\), \(24 \div 2 = 12\), \(24 \div 3 = 8\), \(24 \div 4 = 6\), \(24 \div 6 = 4\), \(24 \div 8 = 3\), \(24 \div 12 = 2\), \(24 \div 24 = 1\). ✓

**Liczba dzielników:** \(|A| = 8\)

**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:** \(|\Omega| = 24\) (losujemy z 24 liczb, każda jednakowo prawdopodobna)

**Obliczamy prawdopodobieństwo:**
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{8}{24} = \boxed{\frac{1}{3}}\]

## Sposób 2 - Wzór na liczbę dzielników

Zamiast wypisywać dzielniki jeden po jednym, możemy skorzystać ze wzoru kombinatorycznego.

Jeśli \(n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\), to **liczba dzielników** \(n\) wynosi:
\[\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)\]

Dla \(24 = 2^3 \cdot 3^1\):
\[\tau(24) = (3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8\]

Zatem:
\[P(A) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\]

Ten sposób jest szybszy, gdy liczba ma wiele dzielników - nie trzeba ich wypisywać!

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)**:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]

Użyliśmy klasycznej definicji prawdopodobieństwa - stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich możliwych wyników. Warunek: wszystkie wyniki **jednakowo prawdopodobne** (każda z 24 liczb jest tak samo prawdopodobna do wylosowania). ✓

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A - \(\frac{1}{4}\) | Policzono tylko dzielniki \(24\) do \(12\), zapominając o samym \(24\) jako dzielniku; albo wzięto \(\frac{6}{24}\) - czyli pominięto część dzielników |
| C - \(\frac{1}{8}\) | Obliczono odwrotność liczby dzielników: \(\frac{1}{8}\) zamiast \(\frac{8}{24}\); błąd konceptualny - pomylono liczbę dzielników z prawdopodobieństwem |
| D - \(\frac{1}{6}\) | Policzono tylko \(4\) dzielniki (np. \(1, 2, 3, 4\)) z pominięciem \(6, 8, 12, 24\); albo pomylono dzielniki z liczbami pierwszymi do 24 |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że **każda liczba jest swoim własnym dzielnikiem** - tutaj \(24\) dzieli \(24\), więc \(24\) jest dzielnikiem i należy do zdarzenia A. Uczniowie często o tym zapominają!

> ⚠️ **Uwaga:** Dzielniki to pary - jeśli \(d | 24\), to też \(\frac{24}{d} | 24\). Szukaj parami: \((1,24)\), \((2,12)\), \((3,8)\), \((4,6)\) - łącznie 8 dzielników. Metoda parowania chroni przed pominięciem dzielnika.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić dzielników liczby 24 z liczbami pierwszymi mniejszymi od 24. Liczby pierwsze: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\) - jest ich 9, a nie 8, i to zupełnie inne zadanie!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wypisanie dzielników
Dzielniki \(24\): \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\). Razem: **8 dzielników**.

Wszystkich możliwości: \(24\).
\[P(A) = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}.\]

### Sposób 2 - Przez rozkład na czynniki
\(24 = 2^3\cdot 3\). Liczba dzielników = \((3+1)(1+1) = 8\).
\[P(A) = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{1}{4}\)** - dałoby \(\tfrac{6}{24}\); pominięto 2 dzielniki.
- **C. \(\tfrac{1}{8}\)** - policzono tylko \(\tfrac{3}{24}\) czy podobnie.
- **D. \(\tfrac{1}{6}\)** - \(\tfrac{4}{24}\); połowa dzielników pominięta.

**Przypomnienie:** dzielniki liczby \(n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\ldots\) to \((a_1+1)(a_2+1)\cdot\ldots\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa na podstawie dzielników liczby 24
1. **Zidentyfikuj dzielniki liczby 24:** Dzielniki liczby 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2. **Zwróć uwagę na warunki zadania:** Liczba musi być w przedziale od 1 do 24 i nie może być podzielna przez 24.
3. **Zlicz dzielniki spełniające warunki:** Z listy dzielników liczby 24, liczby spełniające warunki to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.
4. **Oblicz prawdopodobieństwo:** P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.
5. **Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.**

\[
P(A) = \frac{7}{24}
\]

📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30

### Sposób 2: Użycie wzoru na prawdopodobieństwo i eliminacja nieprawidłowych odpowiedzi
1. **Zdefiniuj zdarzenie A:** Zdarzeniem A jest wylosowanie liczby, która jest dzielnikiem liczby 24.
2. **Oblicz liczbę wszystkich możliwych wyników:** Można wylosować dowolną liczbę od 1 do 24, więc liczba wszystkich możliwych wyników to 24.
3. **Oblicz liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A:** Jak w sposobie 1, liczby dzielące 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.
4. **Oblicz prawdopodobieństwo:** P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.
5. **Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.**

\[
P(A) = \frac{7}{24}
\]

📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. 1/4:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-12, a nie z przedziału 1-24.
* **C. 1/8:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 8. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.
* **D. 1/3:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 3. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe. Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba bę

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_