# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
2
8
72
0
x
x
≤
Odpowiedź:

MMA_1P
Rozwiąż nierówność 8x^2-72x ≤ 0.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in \langle 0, 9 \rangle\)

## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika + szkic paraboli

**Wyłączamy wspólny czynnik:**

\[8x^2 - 72x \leq 0\]

Zauważamy, że każdy składnik jest podzielny przez \(8x\):

\[8x(x - 9) \leq 0\]

**Wyznaczamy miejsca zerowe:**

\[8x(x-9) = 0 \implies x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 9\]

**Analizujemy znak iloczynu:**

Mamy iloczyn dwóch czynników: \(8x\) i \((x-9)\). Iloczyn jest \(\leq 0\), gdy czynniki mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich jest zerem).

| Przedział | \(8x\) | \(x - 9\) | Iloczyn |
| \(x < 0\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x = 0\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) ✓ |
| \(0 < x < 9\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) ✓ |
| \(x = 9\) | \(+\) | \(0\) | \(0\) ✓ |
| \(x > 9\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

Nierówność jest spełniona dla \(x \in \langle 0, 9 \rangle\).

**Odpowiedź: \(x \in \langle 0, 9 \rangle\)**

## Sposób 2 - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

Traktujemy \(8x^2 - 72x\) jako trójmian kwadratowy z \(a = 8\), \(b = -72\), \(c = 0\).

**Wyróżnik:**

\[\Delta = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 0 = 5184\]

\[\sqrt{\Delta} = 72\]

**Miejsca zerowe:**

\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{72 - 72}{16} = \frac{0}{16} = 0\]

\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{72 + 72}{16} = \frac{144}{16} = 9\]

**Interpretacja graficzna:**

Parabola \(f(x) = 8x^2 - 72x\) ma ramiona skierowane **w górę** (bo \(a = 8 > 0\)). Zatem parabola leży **poniżej osi \(OX\)** (czyli \(f(x) \leq 0\)) dokładnie **między** miejscami zerowymi.

\[f(x) \leq 0 \iff x \in \langle x_1, x_2 \rangle = \langle 0, 9 \rangle\]

**Odpowiedź: \(x \in \langle 0, 9 \rangle\)**

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków paraboli.

**Dział 7 (s. 8)** - kluczowa własność paraboli:
- gdy \(a > 0\): parabola jest **wypukła ku górze**, wartości ujemne przyjmuje **między** miejscami zerowymi, czyli \(f(x) \leq 0 \iff x \in \langle x_1, x_2 \rangle\)
- gdy \(a < 0\): odwrotnie - wartości ujemne **poza** miejscami zerowymi

Ta własność pozwala od razu zapisać rozwiązanie nierówności bez analizy znaku w każdym przedziale osobno.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to podanie odpowiedzi \(x \in (0, 9)\) - z nawiasami okrągłymi zamiast kwadratowych. Nierówność jest **niestroga** (\(\leq 0\)), więc punkty \(x = 0\) i \(x = 9\) **są** rozwiązaniami (tam \(f(x) = 0\)).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dzielić obu stron przez \(x\) bez rozważenia znaku \(x\)! Jeśli ktoś podzieli \(8x^2 - 72x \leq 0\) przez \(x\), dostanie \(8x - 72 \leq 0\), czyli \(x \leq 9\) - to błędna odpowiedź, bo pomija ona przypadek \(x < 0\) (gdzie nierówność nie zachodzi) i \(x = 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach z nierównością kwadratową zawsze sprawdź znak \(a\): jeśli \(a > 0\) - rozwiązanie \(\leq 0\) to **przedział między pierwiastkami**; jeśli \(a < 0\) - to **suma dwóch promieni** na zewnątrz pierwiastków.

**Rozwiązanie: \(x \in \langle 0, 9\rangle\)**

### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\[8x^2 - 72x \le 0\]
\[8x(x - 9) \le 0.\]
Dzielimy obie strony przez \(8 > 0\) (znak nierówności bez zmiany):
\[x(x-9) \le 0.\]
Pierwiastki: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 9\). Funkcja \(f(x) = x(x-9)\) to parabola z ramionami w górę, więc \(f(x) \le 0\) **między** pierwiastkami (włącznie):
\[x \in \langle 0, 9\rangle.\]

### Sposób 2 - Delta
\(8x^2 - 72x = 0\):
\[\Delta = 72^2 - 0 = 5184, \quad \sqrt{\Delta} = 72\]
\[x_1 = \tfrac{72-72}{16} = 0, \quad x_2 = \tfrac{72+72}{16} = 9.\]
Nierówność \(\le 0\) z \(a = 8 > 0\) daje przedział **między** pierwiastkami: \(\langle 0, 9\rangle\).

### Sposób 3 - Analiza znaków
Funkcja \(g(x) = 8x(x-9)\) zmienia znak w punktach \(0\) i \(9\):
- \(x < 0\): \(g > 0\) (dodatnia·ujemna = ujemna hmm). Sprawdzam \(x = -1\): \(8\cdot(-1)\cdot(-10) = 80 > 0\). Czyli \(g > 0\).
- \(0 < x < 9\): \(x > 0, x-9 < 0\) → \(g < 0\).
- \(x > 9\): oba dodatnie → \(g > 0\).

Nierówność \(g \le 0\) spełniona gdy \(0 \le x \le 9\).

**Odpowiedź:** \(x \in \langle 0, 9\rangle\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_