# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Liczby rzeczywiste, dowody

## Treść

Zadanie 27. (0-2)
Wykaż, że liczba
2017
2018
2019
2020
4
4
4
4
jest podzielna przez 17.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Wykaż, że liczba 4^2017 + 4^2018 + 4^2019 + 4^2020 jest podzielna przez 17.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.

## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika

**Kluczowa obserwacja:** wszystkie cztery potęgi mają wspólny czynnik $4^{2017}$ - wyłączamy go przed nawias.

\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}\bigl(1 + 4^1 + 4^2 + 4^3\bigr)\]

Obliczamy wartość nawiasu:

\[1 + 4 + 16 + 64 = 85\]

Zatem:

\[4^{2017}\bigl(1 + 4 + 16 + 64\bigr) = 4^{2017} \cdot 85\]

Rozkładamy $85$ na czynniki pierwsze:

\[85 = 5 \cdot 17\]

Stąd:

\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017} \cdot 5 \cdot 17\]

**Wyrażenie jest iloczynem $17$ oraz $4^{2017} \cdot 5$ - a to oznacza, że jest podzielne przez $17$.** $\square$

## Sposób 2 - Arytmetyka modulo 17 (reszty z dzielenia)

Sprawdzamy, jak zachowują się kolejne potęgi $4$ przy dzieleniu przez $17$ (szukamy cyklu reszt):

\[4^1 \equiv 4 \pmod{17}\]
\[4^2 = 16 \equiv -1 \pmod{17}\]
\[4^3 = 64 = 3 \cdot 17 + 13 \equiv -4 \pmod{17}\]
\[4^4 = 256 = 15 \cdot 17 + 1 \equiv 1 \pmod{17}\]

**Reszty tworzą cykl o długości $4$:** $4, -1, -4, 1, 4, -1, -4, 1, \ldots$

Wyznaczamy reszty wykładników z dzielenia przez $4$:

\[2017 = 4 \cdot 504 + 1 \Rightarrow 2017 \equiv 1 \pmod{4}\]
\[2018 \equiv 2, \quad 2019 \equiv 3, \quad 2020 \equiv 0 \pmod{4}\]

Zatem:

\[4^{2017} \equiv 4^1 \equiv 4 \pmod{17}\]
\[4^{2018} \equiv 4^2 \equiv -1 \pmod{17}\]
\[4^{2019} \equiv 4^3 \equiv -4 \pmod{17}\]
\[4^{2020} \equiv 4^4 \equiv 1 \pmod{17}\]

Sumujemy reszty:

\[4 + (-1) + (-4) + 1 = 0 \pmod{17}\]

Suma reszt wynosi $0$ - co oznacza, że całe wyrażenie daje resztę $0$ z dzielenia przez $17$, czyli **jest przez $17$ podzielne.** $\square$

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:
\[a^r \cdot a^s = a^{r+s}\]

Użyliśmy tego w Sposobie 1 przy wyłączaniu $4^{2017}$ przed nawias:
\[4^{2018} = 4^{2017} \cdot 4^1, \quad 4^{2019} = 4^{2017} \cdot 4^2, \quad 4^{2020} = 4^{2017} \cdot 4^3\]

W Sposobie 2 korzystamy też z własności:
\[(a^r)^s = a^{r \cdot s}\]
przy wyznaczaniu cyklu reszt przez obserwację, że $4^4 \equiv 1 \pmod{17}$, więc $4^{4k} \equiv 1$.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj obliczać $4^{2017}$ jako liczby - to ma ponad tysiąc cyfr. Cała siła dowodu polega na tym, żeby **NIE liczyć**, lecz przekształcić algebraicznie.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowy jest nawias $(1 + 4 + 16 + 64) = 85 = 5 \cdot 17$. Gdyby wyłączyć $4^{2018}$, $4^{2019}$ lub $4^{2020}$, nawias wyglądałby inaczej i obliczenia byłyby trudniejsze - zawsze wyłączaj **najmniejszą** potęgę.

> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie reszt łatwo pomylić resztę wykładnika z resztą potęgi. Pamiętaj: najpierw wyznaczasz $2017 \bmod 4 = 1$ (reszta *wykładnika*), a dopiero potem odczytujesz $4^1 \bmod 17 = 4$ (reszta *wyrażenia*).

**Dowód.**

### Sposób 1 - Wyłączenie najmniejszej potęgi przed nawias
Wyłączamy \(4^{2017}\):
\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^{2017}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{2017}\cdot 85.\]
Zauważamy, że \(85 = 5\cdot 17\), więc:
\[4^{2017}\cdot 85 = 4^{2017}\cdot 5\cdot 17.\]
To jest iloczyn liczb, jedna z nich to \(17\), więc wyrażenie dzieli się przez \(17\). \(\blacksquare\)

### Sposób 2 - Grupowanie po dwa
\[4^{2017} + 4^{2018} = 4^{2017}(1+4) = 5\cdot 4^{2017}\]
\[4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2019}(1+4) = 5\cdot 4^{2019}\]
Suma:
\[5\cdot 4^{2017} + 5\cdot 4^{2019} = 5\cdot 4^{2017}(1 + 16) = 5\cdot 4^{2017}\cdot 17.\]
Zawiera czynnik \(17\) → podzielne. \(\blacksquare\)

### Sposób 3 - Grupowanie inne
\[4^{2017} + 4^{2020} + 4^{2018} + 4^{2019} = 4^{2017}(1 + 64) + 4^{2018}(1+4) = 65\cdot 4^{2017} + 5\cdot 4^{2018}.\]
\(65 = 5\cdot 13\) - nie daje bezpośrednio \(17\). Sposób 1 lub 2 lepsze.

**Kluczowe:** \(1 + 4 + 16 + 64 = 85 = 5\cdot 17\) - rozpoznanie tej wartości jest kluczem.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (0-2) Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6. MMA_1P Wykaż, że reszta z dzielenia sum
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykaż, że liczba 2017 2018 2019 2020 4 4 4 4 jest podzielna przez 17. Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana li
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Wykaż, że liczba 2017 2018 2019 2020 4 4 4 4 jest podzielna przez 17. Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana 
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-operon-probna-rozszerzona/zad/9) — Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną a . liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? Wskazówk

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_