# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 28. (0-2)
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C.
Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz
APC
α

i
ABC
β

(zobacz rysunek). Wykaż, że
180
2
α
β
°-
A
P
R
α
β
C

B





MMA_1P
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz ∠APC=α i ∠ABC=β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180° - 2β.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Dowód, że \(\alpha = 180^\circ - 2\beta\)

To zadanie otwarte - podajemy pełne uzasadnienie.

## Sposób 1 - Kąty przyległe na prostej PR i równoległe proste

**Kluczowe obserwacje geometryczne:**

**Krok 1.** Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej:
\[\angle PAB = 90^\circ \quad \text{oraz} \quad \angle RBA = 90^\circ\]
Stąd \(PA \parallel RB\) (obie proste prostopadłe do \(AB\)).

**Krok 2.** Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie \(C\), punkty \(P\), \(C\), \(R\) są współliniowe (punkt styczności leży na odcinku łączącym środki).

**Krok 3.** Wyznaczamy kąt \(\angle BRC\).

Trójkąt \(RBC\) jest **równoramienny**, bo \(RB = RC = r_2\) (oba to promienie okręgu \(R\)).

Kąt \(\angle RBC\):
\[\angle RBC = \angle RBA - \angle ABC = 90^\circ - \beta\]
Z równoramienności trójkąta \(RBC\):
\[\angle RCB = \angle RBC = 90^\circ - \beta\]
Stąd kąt przy wierzchołku \(R\):
\[\angle BRC = 180^\circ - 2(90^\circ - \beta) = 2\beta\]

Ponieważ \(C\) leży **między** \(P\) i \(R\) na odcinku \(PR\), promień \(RC\) ma ten sam kierunek co \(RP\), więc:
\[\angle BRP = \angle BRC = 2\beta\]

**Krok 4.** Stosujemy własność kątów jednostronnych.

\(PA \parallel RB\) - sieczna \(PR\) przecina dwie równoległe proste. Kąty jednostronne (po tej samej stronie siecznej) sumują się do \(180^\circ\):
\[\angle APR + \angle PRB = 180^\circ\]

Ponieważ \(C \in PR\), zachodzi \(\angle APR = \angle APC = \alpha\). Wstawiamy:
\[\alpha + 2\beta = 180^\circ\]
\[\boxed{\alpha = 180^\circ - 2\beta}\]

\(\square\)

## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie i kąty na prostej

**Krok 1.** Wyznaczyć \(\angle CAB\).

Trójkąt \(PAC\) jest równoramienny: \(PA = PC = r_1\), więc:
\[\angle PAC = \angle PCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\]

Skoro \(\angle PAB = 90^\circ\):
\[\angle CAB = 90^\circ - \angle PAC = 90^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\alpha}{2}\]

**Krok 2.** Wyznaczyć \(\angle RCB\).

Z trójkąta \(RBC\) (równoramiennego, \(RB = RC = r_2\)), jak w Sposobie 1:
\[\angle RCB = 90^\circ - \beta\]

**Krok 3.** Skorzystać z kątów na prostej \(PCR\).

Punkty \(P\), \(C\), \(R\) są współliniowe, więc kąty \(\angle PCA\), \(\angle ACB\) i \(\angle BCR\) leżą na tej prostej:
\[\angle PCA + \angle ACB + \angle BCR = 180^\circ\]
\[\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \angle ACB + \left(90^\circ - \beta\right) = 180^\circ\]
\[\angle ACB = \frac{\alpha}{2} + \beta\]

**Krok 4.** Suma kątów trójkąta \(ABC\).

\[\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\]
\[\frac{\alpha}{2} + \beta + \left(\frac{\alpha}{2} + \beta\right) = 180^\circ\]
\[\alpha + 2\beta = 180^\circ\]
\[\boxed{\alpha = 180^\circ - 2\beta}\]

\(\square\)

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)** - własności okręgu i stycznych:

> Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej. Jeśli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, ich środki i punkt styczny są współliniowe.

Użyliśmy tego dwukrotnie: do stwierdzenia \(\angle PAB = \angle RBA = 90^\circ\) oraz do uzasadnienia, że \(P, C, R\) są współliniowe.

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - suma kątów trójkąta:
\[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\]
Użyliśmy w obu sposobach - dla trójkąta \(RBC\) (wyznaczenie \(\angle BRC\)) i dla trójkąta \(ABC\) (Sposób 2).

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie mylą \(\angle ABC = \beta\) z \(\angle RBC\). To NIE jest to samo - \(\angle RBC = 90^\circ - \beta\), bo \(R\) leży prostopadle nad \(B\). Ten krok jest kluczowy!

> ⚠️ **Uwaga:** Trzeba pamiętać, że przy styczności zewnętrznej punkt \(C\) leży **między** \(P\) i \(R\), więc promień \(RP\) i promień \(RC\) mają **ten sam kierunek** - stąd \(\angle BRP = \angle BRC\). Gdyby styczność była wewnętrzna, byłoby odwrotnie.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kąty jednostronne przy siecznej sumują się do \(180^\circ\) - upewnij się, że bierzesz właściwe kąty (po tej samej stronie siecznej \(PR\)). Kąty naprzemianległe sumowałyby się do innej wartości.

**Dowód.**

### Sposób 1 - Suma kątów czworokąta \(ABRP\)
W czworokącie \(ABRP\):
- \(\angle PAB = 90^\circ\) (styczna \(AB\) prostopadła do promienia \(PA\) w punkcie styczności)
- \(\angle ABR = 90^\circ\) (styczna \(AB\) prostopadła do \(RB\))

Trójkąt \(BRC\) jest równoramienny (\(|RC| = |RB| = r_2\) - promienie małego okręgu). Dwa równe kąty przy podstawie:
\[\angle RBC = \angle RCB.\]
Ponieważ suma wszystkich trzech kątów trójkąta \(BRC\) = \(180^\circ\), a \(\angle RBC = \angle ABR - \angle ABC = 90^\circ - \beta\) (zakładając, że \(C\) leży po stronie \(B\)):
\[\angle RCB = 90^\circ - \beta\]
\[\angle BRC = 180^\circ - 2(90^\circ - \beta) = 2\beta.\]

Suma kątów czworokąta \(ABRP\) = \(360^\circ\):
\[\angle PAB + \angle ABR + \angle BRP + \angle RPA = 360^\circ\]
\[90^\circ + 90^\circ + 2\beta + \alpha = 360^\circ\]
\[\alpha = 180^\circ - 2\beta. \quad \blacksquare\]

### Sposób 2 - Trapez prostokątny
Ponieważ \(PA \perp AB\) i \(RB \perp AB\), to \(PA \parallel RB\), więc \(ABRP\) jest trapezem prostokątnym z podstawami \(PA\) i \(RB\).

W tym trapezie suma kątów przy jednym ramieniu (\(PR\)) wynosi \(180^\circ\):
\[\alpha + \angle BRP = 180^\circ.\]
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą (w okręgu o środku \(R\)), styczna \(AB\), cięciwa \(BC\), kąt \(\angle ABC = \beta\) = połowa kąta środkowego \(\angle BRC\), więc \(\angle BRC = 2\beta\).

Zatem:
\[\alpha + 2\beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 180^\circ - 2\beta. \quad \blacksquare\]

**Kluczowe własności:**
- Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
- W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
- Suma kątów czworokąta = \(360^\circ\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (4 pkt) Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BFC. Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny. A B C D E 
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Dany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 l
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Dany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 l
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-3) Punkty 1 2 3 23 24 , , , , , P P P P P  dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw 11 22 P P i 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_