# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 29. (0-4)
Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem
( )
2
f
x
ax
bx
c
. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz
(
)
( )
3
6
0
2
f
f
Oblicz wartość współczynnika a.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
4
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x) = ax^2+bx+c. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f(-6) = f(0) = 3/2. Oblicz wartość współczynnika a.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(a = -\dfrac{1}{2}\)

## Sposób 1 - układ równań z postaci ogólnej

**Co wiemy:** funkcja ma maksimum, więc parabola jest skierowana ramionami w dół → \(a < 0\).

**Krok 1: wyznacz \(c\) z warunku \(f(0) = \frac{3}{2}\)**

\[f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c = \frac{3}{2}\]

**Krok 2: wyznacz oś symetrii z warunku \(f(-6) = f(0)\)**

Skoro \(f(-6) = f(0)\), to punkty \(x = -6\) i \(x = 0\) leżą symetrycznie względem wierzchołka. Oś symetrii jest w połowie między nimi:

\[p = \frac{-6 + 0}{2} = -3\]

Zatem \(-\dfrac{b}{2a} = -3\), czyli \(b = 6a\).

**Krok 3: użyj warunku maksimum \(f(-3) = 6\)**

\[f(-3) = 9a - 3b + c = 6\]

Podstawiam \(b = 6a\) i \(c = \frac{3}{2}\):

\[9a - 3 \cdot 6a + \frac{3}{2} = 6\]
\[9a - 18a = 6 - \frac{3}{2}\]
\[-9a = \frac{12 - 3}{2} = \frac{9}{2}\]

\[\boxed{a = -\frac{1}{2}}\]

## Sposób 2 - postać kanoniczna (szybciej!)

Skoro maksimum wynosi \(6\) i jest osiągane w \(x = -3\) (wyznaczonym jak wyżej z symetrii), funkcję możemy od razu zapisać w postaci kanonicznej:

\[f(x) = a(x+3)^2 + 6\]

Podstawiam warunek \(f(0) = \frac{3}{2}\):

\[a \cdot (0+3)^2 + 6 = \frac{3}{2}\]
\[9a = \frac{3}{2} - 6 = \frac{3 - 12}{2} = -\frac{9}{2}\]

\[\boxed{a = -\frac{1}{2}}\]

**Weryfikacja pełna** (\(a = -\frac{1}{2},\ b = -3,\ c = \frac{3}{2}\)):
\[f(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{3}{2}\]
\[f(0) = \frac{3}{2}\ ✓, \quad f(-6) = -\frac{1}{2}\cdot 36 + 18 + \frac{3}{2} = -18 + 18 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\ ✓\]
\[f(-3) = -\frac{1}{2}\cdot 9 + 9 + \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} + \frac{18}{2} + \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6\ ✓\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**

Postać kanoniczna:
\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \quad \text{gdzie wierzchołek } W = (p, q)\]

Oś symetrii: \(p = -\dfrac{b}{2a}\) - użyta w Sposobie 1 do ustalenia, że \(b = 6a\).

Wierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja osiąga maksimum (gdy \(a < 0\)) lub minimum (gdy \(a > 0\)) - klucz do Sposobu 2.

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(f(-6) = f(0)\) NIE oznacza, że wierzchołek jest w \(x = -6\) ani \(x = 0\). Wierzchołek jest w punkcie **środkowym** tych dwóch argumentów, czyli w \(x = -3\).

> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli funkcja ma **największą** wartość (maksimum), to koniecznie \(a < 0\). Gdyby \(a > 0\), funkcja miałaby minimum, nie maksimum - warto to sprawdzić na końcu.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(f(-3)\) łatwo o błąd znaku: \(-3b = -3 \cdot 6a = -18a\), a nie \(-18\). Nie podstawiaj wartości liczbowej przedwcześnie.

**Odpowiedź: \(a = -\dfrac{1}{2}\)**

### Sposób 1 - Symetria wierzchołka + postać kanoniczna
**Krok 1 - pierwsza współrzędna wierzchołka.** \(f(-6) = f(0)\), więc wierzchołek leży w połowie odległości między \(-6\) i \(0\):
\[p = \dfrac{-6 + 0}{2} = -3.\]

**Krok 2 - druga współrzędna wierzchołka.** Funkcja \(f\) ma **największą** wartość = 6 (zatem \(a < 0\), ramiona w dół), osiąganą w wierzchołku:
\[q = 6.\]

**Krok 3 - wyznaczenie \(a\).** Postać kanoniczna: \(f(x) = a(x+3)^2 + 6\). Warunek \(f(0) = \tfrac{3}{2}\):
\[a\cdot 9 + 6 = \tfrac{3}{2}\]
\[9a = \tfrac{3}{2} - 6 = -\tfrac{9}{2}\]
\[a = -\tfrac{1}{2}.\]

### Sposób 2 - Układ trzech równań
Z warunków \(f(-6) = f(0) = \tfrac{3}{2}\) i \(\max f = 6\):
\[\begin{cases} 36a - 6b + c = \tfrac{3}{2} \\ c = \tfrac{3}{2} \\ -\tfrac{b^2 - 4ac}{4a} = 6 \end{cases}\]
Z pierwszego (po podstawieniu \(c\)): \(36a - 6b = 0 \Rightarrow b = 6a\).
Z trzeciego: \(\tfrac{4ac - b^2}{4a} = 6\) → \(4ac - b^2 = 24a\). Podstawiamy \(c = \tfrac{3}{2}\), \(b = 6a\):
\[4a\cdot\tfrac{3}{2} - 36a^2 = 24a\]
\[6a - 36a^2 = 24a \Rightarrow -36a^2 = 18a \Rightarrow a = -\tfrac{1}{2}.\]
(Przyjęliśmy \(a \ne 0\) - bo to funkcja kwadratowa.)

**Odpowiedź:** \(a = -\tfrac{1}{2}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Liczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu 30 2 ) ( 2 3 bx ax x x W a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek te
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (5 pkt) Wykres funkcji f danej wzorem ( ) 2 2 f x x przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymuj
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (5 pkt) Wyznacz dziedzinę funkcji ( ) ( ) log 4 12 2 32 x x x f x = ⋅ 5 Arkusz II

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_