# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 30. (0-2)
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych
jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Odpowiedź:

MMA_1P
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi **60 cm**

## Sposób 1 - Równanie kwadratowe z tw. Pitagorasa

**Oznaczamy zmienne.** Niech krótsza przyprostokątna ma długość \(a\) cm. Wtedy dłuższa ma długość \((a + 14)\) cm.

**Stosujemy twierdzenie Pitagorasa** (przeciwprostokątna = 26):
\[a^2 + (a+14)^2 = 26^2\]

**Rozwijamy lewą stronę:**
\[a^2 + a^2 + 28a + 196 = 676\]
\[2a^2 + 28a + 196 = 676\]
\[2a^2 + 28a - 480 = 0\]
\[a^2 + 14a - 240 = 0\]

**Wyznaczamy deltę:**
\[\Delta = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 = 34^2\]

**Miejsca zerowe:**
\[a = \frac{-14 \pm 34}{2}\]
\[a_1 = \frac{-14 + 34}{2} = \frac{20}{2} = 10 \qquad a_2 = \frac{-14 - 34}{2} = \frac{-48}{2} = -24\]

Odrzucamy \(a_2 = -24\), bo długość nie może być ujemna.

**Zatem:**
- krótsza przyprostokątna: \(a = 10\) cm
- dłuższa przyprostokątna: \(a + 14 = 24\) cm

**Obwód trójkąta:**
\[O = 10 + 24 + 26 = \mathbf{60 \text{ cm}}\]

## Sposób 2 - Wzory Viète'a + szybka weryfikacja

Z równania \(a^2 + 14a - 240 = 0\) korzystamy ze wzorów Viète'a, żeby szybko **sprawdzić**, czy wyniki są poprawne:
\[a_1 + a_2 = -14, \quad a_1 \cdot a_2 = -240\]

Dla \(a_1 = 10\) i \(a_2 = -24\):
\[10 + (-24) = -14 \checkmark\]
\[10 \cdot (-24) = -240 \checkmark\]

**Weryfikacja tw. Pitagorasa:**
\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 \checkmark\]

Obwód: \(10 + 24 + 26 = \mathbf{60 \text{ cm}}\)

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2 \quad \text{(gdy kąt przy } C = 90°\text{)}\]
Użyliśmy go, żeby ułożyć równanie łączące przyprostokątne z przeciwprostokątną.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na miejsca zerowe i deltę:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyliśmy do rozwiązania równania \(a^2 + 14a - 240 = 0\).

**Dział 7 - wzory Viète'a:**
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyników.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o odrzuceniu ujemnego rozwiązania - długość boku nie może być ujemna! Wielu uczniów wpisuje obydwa wyniki bez sprawdzenia sensu.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która wielkość to przeciwprostokątna, a która przyprostokątna. Przeciwprostokątna to **najdłuższy** bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciwko kąta prostego - tu podana wprost jako 26 cm.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \((a+14)^2\) nie zapomnij o wyrazie środkowym: \((a+14)^2 = a^2 + \mathbf{28a} + 196\), a nie \(a^2 + 196\).

**Odpowiedź: obwód \(= 60\) cm**

### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + równanie kwadratowe
Niech \(x\) - krótsza przyprostokątna. Wtedy dłuższa = \(x + 14\), przeciwprostokątna = \(26\).

Z twierdzenia Pitagorasa:
\[x^2 + (x+14)^2 = 26^2\]
\[x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676\]
\[2x^2 + 28x - 480 = 0\]
\[x^2 + 14x - 240 = 0.\]

Wzory Viète'a lub delta:
\[\Delta = 196 + 960 = 1156, \quad \sqrt{\Delta} = 34\]
\[x = \tfrac{-14 \pm 34}{2}.\]
\(x_1 = 10\) (dodatni) lub \(x_2 = -24\) (odrzucamy, długość musi być dodatnia).

**Boki trójkąta:** \(10, 10+14 = 24, 26\).
**Obwód:** \(10 + 24 + 26 = 60\) cm.

### Sposób 2 - Rozpoznanie trójkąta pitagorejskiego
Trójkąt o bokach \(10, 24, 26\) to \(2\cdot(5, 12, 13)\) - znany trójkąt pitagorejski. Sprawdzenie: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✓.

Jeśli rozpoznamy skali \(2\), bezpośrednio otrzymujemy boki: \(10, 24, 26\), obwód \(60\).

### Sposób 3 - Weryfikacja warunku
Różnica przyprostokątnych: \(24 - 10 = 14\) ✓.
Pitagoras: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2\) ✓.

**Odpowiedź:** obwód = \(60\) cm.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (4 pkt) Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile procent zwiększymy powierzchnię ekr
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Sąsiednie boki równoległoboku mają długość 6 i 9. Pole tego równoległoboku jest równe 18. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległobok
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-2) Bok kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość równą 12. Punkt 𝑆 jest środkiem boku 𝐵𝐶 tego kwadratu. Na odcinku 𝐴𝑆 leży punkt 𝑃 taki, że odcinek 𝐵𝑃 jest prosto
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-2) Trójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26. Oblic

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_