# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

W ciągu arytmetycznym (a₁), określonym dla n ≥ 1, dane są: a₁ = 8 i suma trzech początkowych wyrazy S₃ = 33. Oblicz różnicę a₁₆ - a₁₃.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(a_{16} - a_{13} = 9\)

## Sposób 1 - wyznaczenie różnicy \(r\) ze wzoru na \(S_3\)

**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \(r\).**

Ze wzoru na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_3 = \frac{2a_1 + (3-1)r}{2} \cdot 3 = \frac{2a_1 + 2r}{2} \cdot 3 = 3(a_1 + r)\]

Możemy też po prostu zapisać:
\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\]

Podstawiamy \(a_1 = 8\), \(S_3 = 33\):
\[3 \cdot 8 + 3r = 33\]
\[24 + 3r = 33\]
\[3r = 9\]
\[r = 3\]

**Krok 2: Obliczamy \(a_{16}\) i \(a_{13}\).**

\[a_{16} = a_1 + 15r = 8 + 15 \cdot 3 = 8 + 45 = 53\]
\[a_{13} = a_1 + 12r = 8 + 12 \cdot 3 = 8 + 36 = 44\]

**Krok 3: Obliczamy różnicę.**

\[a_{16} - a_{13} = 53 - 44 = \mathbf{9}\]

## Sposób 2 - sprytny trick: różnica wyrazów to wielokrotność \(r\)

Zamiast liczyć osobno \(a_{16}\) i \(a_{13}\), zauważamy od razu:

\[a_{16} - a_{13} = \bigl(a_1 + 15r\bigr) - \bigl(a_1 + 12r\bigr) = 3r\]

**Wyraz \(a_1\) się skraca!** Różnica wyrazów odległych o \(k\) pozycji wynosi zawsze \(k \cdot r\). Tutaj \(16 - 13 = 3\), więc:
\[a_{16} - a_{13} = 3r\]

Wystarczy już tylko wyznaczyć \(r\) (tak samo jak w Sposobie 1):
\[3 \cdot 8 + 3r = 33 \implies r = 3\]

A zatem:
\[a_{16} - a_{13} = 3r = 3 \cdot 3 = \mathbf{9}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \(a_{16}\) i \(a_{13}\) (Sposób 1).

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \(n\) wyrazów:
\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\]
Użyliśmy go (dla \(n = 3\)) do wyznaczenia różnicy \(r\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(S_3 = 3a_1 + 3r\) z \(S_3 = 3a_1 + r\) - pamiętaj, że w sumie trzech wyrazów mamy: \(a_1\), \(a_1 + r\), \(a_1 + 2r\), czyli łącznie \(3a_1 + (0+1+2)r = 3a_1 + 3r\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz liczyć osobno \(a_{16}\) i \(a_{13}\)! Różnica wyrazów odległych o \(k\) miejsc to zawsze \(k \cdot r\). To znacznie szybszy sposób - szczególnie gdy pytanie dotyczy tylko różnicy, nie konkretnych wartości.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik - \(r = 3\) oznacza \(a_2 = 11\), \(a_3 = 14\), więc \(S_3 = 8 + 11 + 14 = 33\). ✓

**Odpowiedź: \(a_{16} - a_{13} = 9\)**

### Sposób 1 - Wyznaczenie \(r\) z \(S_3\)
Wzór na sumę: \(S_3 = 3a_1 + 3r = 24 + 3r = 33\).
Stąd \(3r = 9\), czyli \(r = 3\).

**Różnica \(a_{16} - a_{13}\):**
\[a_{16} - a_{13} = (a_1 + 15r) - (a_1 + 12r) = 3r = 9.\]

### Sposób 2 - Ogólna własność
Dla ciągu arytmetycznego \(a_m - a_n = (m-n)\cdot r\). Zatem:
\[a_{16} - a_{13} = 3r.\]
Z \(S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) = 3a_1 + 3r = 33\): \(r = 3\).
\[a_{16} - a_{13} = 3\cdot 3 = 9.\]

### Sposób 3 - Wartości \(a_{16}, a_{13}\) osobno
\(a_{16} = 8 + 15\cdot 3 = 53\), \(a_{13} = 8 + 12\cdot 3 = 44\). Różnica: \(53 - 44 = 9\).

**Odpowiedź:** \(a_{16} - a_{13} = 9\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) W ciągu arytmetycznym   na , dla 1 n , dane są 1 2 a  oraz różnica 3 r . Oblicz największe n takie, że 1 2 2012 n a a a     Odpowie
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15) — Zadanie 15. (0-2) Czterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapi
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Czterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. EMAP
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_