# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria

## Treść

Zadanie 32. (0-5)
Dane są punkty
(
)
4,0
A = -
i
(
)
2,9
M =
oraz prosta k o równaniu
2
10
y
x
. Wierzchołek
B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek
C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.
Odpowiedź:

MMA_1P
Dane są punkty A=(-4,0) i M=(2,9) oraz prosta k o równaniu y=-2x+10. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(\frac{243}{7}\)

## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołków i wzór na pole

**Krok 1: Wyznacz punkt B (przecięcie prostej k z osią Ox)**

Na osi \(Ox\) mamy \(y = 0\). Podstawiamy do równania prostej \(k\):
\[0 = -2x + 10 \implies x = 5\]
\[\boxed{B = (5, 0)}\]

**Krok 2: Wyznacz równanie prostej AM**

Dane: \(A = (-4, 0)\), \(M = (2, 9)\).

Współczynnik kierunkowy:
\[a = \frac{9 - 0}{2 - (-4)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\]

Równanie prostej (postać kierunkowa przez punkt A):
\[y - 0 = \frac{3}{2}(x - (-4)) \implies y = \frac{3}{2}x + 6\]

**Krok 3: Wyznacz punkt C (przecięcie prostej k z prostą AM)**

Układ równań:
\[\begin{cases} y = -2x + 10 \\ y = \frac{3}{2}x + 6 \end{cases}\]

Przyrównujemy prawe strony:
\[-2x + 10 = \frac{3}{2}x + 6\]
\[4 = \frac{3}{2}x + 2x = \frac{3}{2}x + \frac{4}{2}x = \frac{7}{2}x\]
\[x = \frac{8}{7}\]

Podstawiamy do równania prostej \(k\):
\[y = -2 \cdot \frac{8}{7} + 10 = -\frac{16}{7} + \frac{70}{7} = \frac{54}{7}\]

\[\boxed{C = \left(\frac{8}{7},\ \frac{54}{7}\right)}\]

**Krok 4: Oblicz pole trójkąta ABC**

Kluczowa obserwacja: **punkty A i B leżą na osi Ox** (oba mają \(y = 0\)), zatem odcinek AB jest podstawą trójkąta leżącą na osi poziomej.

Długość podstawy:
\[|AB| = |5 - (-4)| = 9\]

Wysokość trójkąta = rzędna punktu C (prostopadła odległość od C do osi Ox):
\[h = \frac{54}{7}\]

Pole:
\[P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{54}{7} = \frac{486}{14} = \boxed{\frac{243}{7}}\]

## Sposób 2 - Wzór ze współrzędnych

Korzystamy bezpośrednio ze wzoru na pole trójkąta o danych współrzędnych wierzchołków \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\), \(C(x_C, y_C)\):

\[P = \frac{1}{2}\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|\]

Podstawiamy \(A = (-4, 0)\), \(B = (5, 0)\), \(C = \left(\frac{8}{7}, \frac{54}{7}\right)\):

\[P = \frac{1}{2}\left|(5-(-4))\cdot\left(\frac{54}{7} - 0\right) - (0-0)\cdot\left(\frac{8}{7}-(-4)\right)\right|\]

\[P = \frac{1}{2}\left|9 \cdot \frac{54}{7} - 0\right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{486}{7} = \frac{243}{7}\]

Wynik zgodny. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

1. Równanie kierunkowe prostej: \(y = ax + b\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy - użyte do zapisania prostej AM.

2. Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów:
\[a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\]
Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia prostej AM.

3. Pole trójkąta ze współrzędnych:
\[P = \frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\]
Użyte w Sposobie 2 jako weryfikacja.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu punktu B (przecięcie z osią \(Ox\)) podstawiamy \(y = 0\) - częsty błąd to szukanie przecięcia z \(Oy\) (czyli \(x = 0\)), co daje punkt \((0, 10)\), a nie B.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu C trzeba najpierw znaleźć równanie prostej **AM** (nie prostej kM czy cokolwiek innego) - punkty A i M jednoznacznie wyznaczają tę prostą, ale M **nie jest** wierzchołkiem trójkąta, tylko punktem pomocniczym na tej prostej.

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(\frac{243}{7}\) jest ułamkiem - to poprawne! Nie trzeba "zaokrąglać" ani szukać wyniku całkowitego. Na maturze ułamek w wyniku jest akceptowalny, o ile jest nieskracalny (\(\gcd(243, 7) = 1\), bo \(243 = 3^5\) i \(7\) jest pierwsze).

**Odpowiedź: \(P_{ABC} = \dfrac{243}{7} = 34\dfrac{5}{7}\)**

### Sposób 1 - Wyznaczenie wszystkich wierzchołków
**Krok 1 - wierzchołek \(B\) (przecięcie \(k\) z osią \(Ox\)):**
\(y = 0 \Rightarrow -2x + 10 = 0 \Rightarrow x = 5\). Zatem \(B = (5, 0)\).

**Krok 2 - równanie prostej \(AM\)** przez \(A = (-4, 0)\) i \(M = (2, 9)\):
Współczynnik kierunkowy: \(a = \dfrac{9-0}{2-(-4)} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}\).
Równanie: \(y = \dfrac{3}{2}(x+4) = \dfrac{3}{2}x + 6\).

**Krok 3 - wierzchołek \(C\) (przecięcie \(AM\) i \(k\)):**
\[\dfrac{3}{2}x + 6 = -2x + 10\]
\[\dfrac{3}{2}x + 2x = 4 \Rightarrow \dfrac{7}{2}x = 4 \Rightarrow x = \dfrac{8}{7}.\]
\[y = -2\cdot\dfrac{8}{7} + 10 = -\dfrac{16}{7} + \dfrac{70}{7} = \dfrac{54}{7}.\]
Zatem \(C = \left(\dfrac{8}{7}, \dfrac{54}{7}\right)\).

**Krok 4 - pole trójkąta \(ABC\):**
\(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\): \(|AB| = |5 - (-4)| = 9\). Wysokość z \(C\) do \(AB\) = \(y_C = \dfrac{54}{7}\).
\[P_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot\dfrac{54}{7} = \dfrac{486}{14} = \dfrac{243}{7}.\]

### Sposób 2 - Wzór determinantowy
\[P = \dfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\]
\[= \dfrac{1}{2}\left|(-4)(0 - \tfrac{54}{7}) + 5(\tfrac{54}{7} - 0) + \tfrac{8}{7}(0 - 0)\right|\]
\[= \dfrac{1}{2}\left|\tfrac{216}{7} + \tfrac{270}{7}\right| = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{486}{7} = \dfrac{243}{7}.\]

**Odpowiedź:** \(P = \dfrac{243}{7} \approx 34{,}71\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (7 pkt) Środek okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 1, 4 A = i ( ) 6, 3 B = - leży na osi Ox. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz równanie 
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1 4 𝑥2 -3 2 𝑥+ 1 4 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest licz
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (6 pkt) Punkt ( 2,5) A = - jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , ABC w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zaw
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzcho

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_